Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/59

quidem coëfficientes erunt

pro $\zeta ,$ functiones indeterminatarum $x,$ $a,$ $b,$ $c$ etc.

pro $z,$ functiones indeterminatarum $x,$ $l',$ $l'',$ $l'''$ etc.

pro $Z,$ functiones solius indeterminatae $x.$

Singuli vero coëfficientes ipsius $z$ transibunt in coëfficientes ipsius $\zeta$ per substitutiones $l'=\lambda ',$ $l''=\lambda '',$ $l'''=\lambda '''$ etc. nec non in coëfficientes ipsius $Z$ per substitutiones $l'=L',$ $l''=L'',$ $l'''=L'''$ etc. Eadem, quae modo de coëfficientibus diximus, etiam de determinantibus functionum $\zeta ,$ $z,$ $Z$ valebunt. Atque in hos ipsos iam propius inquiremus, et quidem eum in finem, ut demonstretur

Theorema. Quoties non est $P=0,$ determinans functionis $Z$ certo nequit esse identice $=0.$

13.

Perfacilis quidem esset demonstratio huius theorematis, si supponere liceret, $Y$ resolvi posse in factores simplices

$$(x-A)(x-B)(x-C)(x-D).\dots .$$

Tunc enim certum quoque esset, $Z$ esse productum ex omnibus $u-(A+B)x+AB,$ atque determinantem functionis $Z$ productum e differentiis inter binas quantitatum

$${\begin{array}{c}(A+B)x-AB\\(A+C)x-AC\\(A+D)x-AD\\{\text{etc.}}\\(B+C)x-BC\\(B+D)x-BD\\{\text{etc.}}\\(C+D)x-CD\\{\text{etc. etc.}}\end{array}}$$

Hoc vero productum identice evanescere nequit, nisi aliquis factorum per se identice fiat $=0,$ unde sequeretur, duas quantitatum $A,$ $B,$ $C$ etc. aequales esse, adeoque determinantem $P$ functionis $Y$ fieri $=0,$ contra hyp.