Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/57

nimum unum reperiri debere ita comparatum, ut inter factores numeri, qui eius ordinem exprimit, binarius saltem non pluries occurrat, quam inter factores numeri $m,$ qui exprimit ordinem functionis $Y:$ puta, si statuatur $m=k.2^{\mu },$ denotante $k$ numerum imparem, inter factores functionis $Y$ ad minimum unus reperietur ad ordinem $k'.2^{\nu }$ referendus, ita ut etiam $k'$ sit impar, atque vel $\nu =\mu ,$ vel $\nu <\mu .$ Veritas huius assertionis sponte sequitur inde, quod $m$ est aggregatum numerorum, qui ordinem singulorum factorum ipsius $Y$ exprimunt.

11.

Antequam ulterius progrediamur, expressionem quandam explicabimus, cuius introductio in omnibus de functionibus symmetricis disquisitionibus maximam utilitatem affert, et quae nobis quoque peropportuna erit. Supponamus, $M$ esse functionem quarundam ex indeterminatis $a,$ $b,$ $c$ etc., et quidem sit $\mu$ multitudo earum, quae in expressionem $M$ ingrediuntur, nullo respectu habito aliarum indeterminatarum, si quas forte implicet ipsa $M.$ Permutatis illis $\mu$ indeterminatis omnibus quibus fieri potest modis tum inter se tum cum $m-\mu$ reliquis ex $a,$ $b,$ $c$ etc., orientur ex $M$ aliae expressiones ipsi $M$ similes, ita ut omnino habeantur

$$m(m-1)(m-2)(m-3).\dots .(m-\mu +1)$$

expressiones, ipsa $M$ inclusa, quarum complexum simpliciter dicemus complexum omnium $M.$ Hinc sponte patet, quid significet aggregatum omnium $M,$ productum ex omnibus $M$ etc. Ita e.g. $\pi$ dicetur productum ex omnibus $a-b,$ ${\mathfrak {u}}$ productum ex omnibus $x-a,$ ${\mathfrak {u}}'$ aggregatum omnium ${\tfrac {\mathfrak {u}}{x-a}}$ etc.

Si forte $M$ est functio symmetrica respectu quarundam ex $\mu$ indeterminatis, quas continet, istarum permutationes inter se functionem $M$ non variant, quamobrem in complexu omnium $M$ quilibet terminus pluries, et quidem $1.2.3.\dots .\nu$ vicibus reperietur, si $\nu$ est multitudo indeterminatarum, quarum respectu $M$ est symmetrica. Si vero $M$ non solum respectu $\nu$ indeterminatarum symmetrica est, sed insuper respectu $\nu '$ aliarum, nec non respectu $\nu ''$ aliarum etc., ipsa $M$ non variabitur sive binae e primis $\nu$ indeterminatis inter se permutentur, sive binae e secundis $\nu ',$ sive binae e tertiis $\nu ''$ etc., ita ut semper

$$1.2.3.\dots .\nu .1.2.3.\dots .\nu '.1.2.3.\dots .\nu ''.{\text{ etc.}}$$