Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/54

substitutiones transeat in ${\mathfrak {u}}',$ patet $p-sy-ry'$ per easdem substitutiones transire in $\pi -\sigma {\mathfrak {u}}-\rho {\mathfrak {u}}',$ i.e. in $0,$ adeoque necessario iam per se identice evanescere debere (art. 5): habemus proin aequationem identicam

$$p=sy+ry'.$$

Hinc si supponamus, ex substitutione $l'=L',$ $l''=L'',$ $l'''=L'''$ etc. prodire $r=R,$ $s=S$ erit etiam identice

$$P=SY+RY'$$

ubi, quum $S,$ $R$ sint functionis integrae ipsius $x,$ $P$ vero quantitas determinata seu numerus, sponte patet, $Y$ et $Y'$ divisorem communem habere non posse, nisi fuerit $P=0.$ Quod est ipsum theorema posterius art. 6.

9.

Demonstrationem theorematis prioris ita absolvemus, ut ostendamus, in casu eo, ubi $Y$ et $Y'$ non habent divisorem communem, certo fieri non posse $P=0.$ Ad hunc finem primo, per praecepta art. 2 erutas supponimus duas functiones integras indeterminatae $x,$ puta $fx$ et ${\phi }x,$ tales, ut habeatur aequatio identica

$$fx.Y+{\phi }x.Y'=1$$

quam hic ita exhibemus:

$$fx.{\mathfrak {u}}+{\phi }x.{\mathfrak {u}}'=1+fx.({\mathfrak {u}}-Y)+{\phi }x.{\tfrac {d({\mathfrak {u}}-Y)}{dx}}$$

sive, quoniam habemus

$${\begin{array}{rl}{\mathfrak {u}}'=&(x-b)(x-c)(x-d)\dots .\\&+(x-a){\tfrac {d[(x-b)(x-c)(x-d)\dots .]}{dx}}\end{array}}$$

in forma sequente:

$${\begin{array}{rl}&{\phi }x.(x-b)(x-c)(x-d)\dots .\\+&{\phi }x.(x-a).{\tfrac {d[(x-b)(x-c)(x-d)\dots .]}{dx}}\\+&fx.(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)\dots .\\=&1+fx.({\mathfrak {u}}-Y)+\phi x.{\tfrac {d({\mathfrak {u}}-Y)}{dx}}\end{array}}$$

Exprimamus brevitatis caussa

$$fx.(y-Y)+{\phi }x.{\tfrac {d(y-Y)}{dx}}$$