Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/52

$$Y'=mx^{m-1}-(m-1)L'x^{m-2}+(m-2)L''x^{m-3}-(m-3)L'''x^{m-4}+{\text{ etc. }}$$

haberi

$${\begin{array}{rrl}Y'=&&(x-B)(x-C)(x-D)\dots \\&+&(x-A)(x-C)(x-D)\\&+&(x-A)(x-B)(x-D)\\&+&(x-A)(x-B)(x-C)\\&+&{\text{ etc.}}\end{array}}$$

Si itaque duae quantitatum $A,$ $B,$ $C$ etc. aequales sunt, e. g. $A=B,$ $Y'$ per $x-A$ divisibilis erit, sive $Y$ et $Y'$ implicabunt divisorem communem $x-A$. Vice versa, si $Y'$ cum $Y$ ullum divisorem communem habere supponitur, necessario $Y'$ aliquem factorem simplicem ex his $x-A,$ $x-B,$ $x-C$ etc. implicare debebit, e.g. primum $x-A,$ quod manifeste fieri nequit, nisi $A$ alicui reliquarum $B,$ $C,$ $D$ etc. aequalis fuerit. Ex his omnibus itaque colligimus duo Theoremata:

1. Si determinans functionis $Y$ fit $=0,$ certo $Y$ cum $Y'$ divisorem communem habet, adeoque, si $Y$ et $Y'$ divisorem communem non habent, determinans functionis $Y$ nequit esse $=0.$
2. Si determinans functionis $Y$ non est $=0,$ certo $Y$ et $Y'$ divisorem communem habere nequeunt; vel, si $Y$ et $Y'$ divisorem communem habent, necessario determinans functionis $Y$ esse debet $=0.$

7.

At probe notandum est, totam vim huius demonstrationis simplicissimae inniti suppositioni, functionem $Y$ in factores simplices resolvi posse: quae ipsa suppositio, hocce quidem loco, ubi de demonstratione generali huius resolubilitatis agitur, nihil esset nisi petitio principii. Et tamen a paralogismis huic prorsus similibus non sibi caverunt omnes, qui demonstrationes analyticas theorematis principalis tentaverunt, cuius speciosae illusionis originem iam in ipsa disquisitionis enunciatione animadvertimus, quum omnes formam tantum radicum aequationum inquisiverint, dum existentiam temere suppositam demonstrare oportuisset. Sed de tali procedendi modo, qui nimis a rigore et claritate abhorret, satis iam in commentatione supra citata dictum est. Quamobrem iam theoremata art. praec.,