Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/49

i.e. si e differentiis $\alpha -\alpha ',$ $\beta -\beta ',$ $\gamma -\gamma '$ etc. prima, quae non evanescit, positiva evadit. Quocirca quum termini eiusdem ordinis non differant nisi respectu coëfficientis $M,$ adeoque in terminum unum conflari possint, singulos terminos functionis $\rho$ ad ordines diversos pertinere supponemus.

Iam observamus, si $Ma^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }.\dots .$ sit ex omnibus terminis functionis $\rho$ is, cui ordo altissimus competat, necessario $\alpha$ esse maiorem, vel saltem non minorem, quam $\beta .$ Si enim esset $\beta >\alpha ,$ terminus $Ma^{\beta }b^{\alpha }c^{\gamma }.\dots .,$ quem functio $\rho ,$ utpote symmetrica, quoque involvet, foret ordinis altioris quam $Ma^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }.\dots .$ contra hyp. Simili modo $\beta$ erit maior vel saltem non minor quam $\gamma ;$ porro $\gamma$ non minor quam exponens sequens $\delta$ etc.: proin singulae differentiae $\alpha -\beta ,$ $\beta -\gamma ,$ $\gamma -\delta$ etc. erunt integri non negativi.

Secundo perpendamus, si e quotcunque functionibus integris indeterminatarum $a,$ $b,$ $c$ etc. productum confletur, huius terminum altissimum necessario esse ipsum productum e terminis altissimis illorum factorum. Aeque manifestum est, terminos altissimos functionum $\lambda ',$ $\lambda '',$ $\lambda '''$ etc. resp. esse $a,$ $ab,$ $abc$ etc. Hinc colligitur, terminum altissimum e producto

$$p=M{\lambda '}^{\alpha -\beta }{\lambda ''}^{\beta -\gamma }{\lambda '''}^{\gamma -\delta }.\dots .$$

prodeuntem esse $Ma^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }.\dots .;$ quocirca statuendo $\rho -p=\rho ',$ terminus altissimus functionis $\rho '$ certo erit ordinis inferioris quam terminus altissimus functionis $\rho .$ Manifesto autem $p,$ et proin etiam $\rho ',$ fiunt functiones integrae symmetricae ipsarum $a,$ $b,$ $c$ etc. Quamobrem $\rho '$ perinde tractata, ut antea $\rho ,$ discerpetur in $p'+\rho '',$ ita ut $p'$ sit productum e potestatibus ipsarum $\lambda ',$ $\lambda '',$ $\lambda '''$ etc. in coëfficientem vel determinatum vel saltem ab $a,$ $b,$ $c$ etc. non pendentem, $\rho ''$ vero functio integra symmetrica ipsarum $a,$ $b,$ $c$ etc. talis, ut ipsius terminus altissimus pertineat ad ordinem inferiorem, quam terminus altissimus functionis $\rho '.$ Eodem modo continuando, manifesto tandem $\rho$ ad formam $p+p'+p''+p'''$ etc. redacta, i.e. in functionem integram ipsarum $\lambda ',\lambda '',\lambda '''$ etc. transformata erit.

5.

Theorema in art. praec. demonstratum etiam sequenti modo enunciare possumus: Proposita functione quacunque indeterminatarum $a,$ $b,$ $c$ etc. integra symmetrica $\rho ,$ assignari potest functio integra totidem aliarum indeterminatarum $l',$ $l'',$ $l'''$ etc. talis, quae per substitutiones $l'=\lambda ',$ $l''=\lambda '',$ $l'''=\lambda '''$ etc. transeat