Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/48

3.

Disquisitio praeliminaris altera circa transformationem functionum symmetricarum versabitur. Sint $a,$ $b,$ $c$ etc. quantitates indeterminatae, ipsarum multitudo $m,$ designemusque per $\lambda '$ illarum summam, per $\lambda ''$ summam productorum e binis, per $\lambda '''$ summam productorum e ternis etc., ita ut ex evolutione producti

$$(x-a)(x-b)(x-c).\dots$$

oriatur

$$x^{m}-\lambda 'x^{m-1}+\lambda ''x^{m-2}-\lambda '''x^{m-3}+{\text{etc.}}$$

Ipsae itaque $\lambda ',$ $\lambda '',$ $\lambda '''$ etc. sunt functiones symmetricae indeterminatarum $a,$ $b,$ $c$ etc, i.e. tales, in quibus hae indeterminatae eodem modo occurrunt, sive clarius, tales, quae per qualemcunque harum indeterminatarum inter se permutationem non mutantur. Manifesto generalius, quaelibet functio integra ipsarum $\lambda ',$ $\lambda '',$ $\lambda '''$ etc. (sive has solas indeterminatas implicet, sive adhuc alias ab $a,$ $b,$ $c$ etc. independentes contineat) erit functio symmetrica integra indeterminatarum $a,$ $b,$ $c$ etc.

4.

Theorema inversum paullo minus obvium. Sit $\rho$ functio symmetrica indeterminatarum $a,$ $b,$ $c$ etc., quae igitur composita erit e certo numero terminorum formae

$$Ma^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }.\dots$$

denotantibus $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma$ etc. integros non negativos, atque $M$ coëfficientem vel determinatum vel saltem ab $a,$ $b,$ $c$ etc. non pendentem (si forte aliae adhuc indeterminatae praeter $a,$ $b,$ $c$ etc. functionem $\rho$ ingrediantur). Ante omnia inter singulos hos terminos ordinem certum stabiliemus, ad quem finem primo ipsas indeterminatas $a,$ $b,$ $c$ etc. ordine certo per se quidem prorsus arbitrario disponemus, e.g. ita, ut $a$ primum locum obtineat, $b$ secundum, $c$ tertium etc. Dein e duobus terminis

$$Ma^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }.\dots {\text{ et }}Ma^{\alpha '}b^{\beta '}c^{\gamma '}.\dots$$

priori ordinem altiorem tribuemus quam posteriori, si fit

$${\text{vel }}\alpha >\alpha ',{\text{ vel }}\alpha =\alpha '{\text{ et }}\beta >\beta ',{\text{ vel }}\alpha =\alpha ',\beta =\beta '{\text{ et }}\gamma >\gamma ',{\text{ vel etc.}}$$