Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/47

III. Si $Y^{(\mu )}$ est ordinis $0,$ i.e. numerus, nulla functio indeterminatae $x$ proprie sic dicta ipsas $Y,$ $Y'$ metiri potest: in hoc itaque casu dicendum est, has functiones divisorem communem non habere.

IV. Excerpamus ex aequationibus nostris penultimam; dein ex hac eliminemus $Y^{(\mu -1)}$ adiumento aequationis antepenultimae; tunc iterum eliminemus $Y^{(\mu -2)}$ adiumento aequationis praecedentis et sic porro: hoc pacto habebimus

$${\begin{array}{rl}Y^{(\mu )}&=+kY^{(\mu -2)}-k'Y^{(\mu -1)}\\&=-k'Y^{(\mu -3)}+k''Y^{(\mu -2)}\\&=+k''Y^{(\mu -4)}-k'''Y^{(\mu -3)}\\&=-k'''Y^{(\mu -5)}+k''''Y^{(\mu -4)}\\&{\text{etc.}}\end{array}}$$

si functiones $k,$ $k',$ $k''$ etc. ex lege sequente formatas supponamus

$${\begin{array}{ll}k&=1\\k'&=q^{(\mu -2)}\\k''&=q^{(\mu -3)}k'+k\\k'''&=q^{(\mu -4)}k''+k'\\k''''&=q^{(\mu -5)}k'''+k''\\&{\text{etc.}}\end{array}}$$

Erit itaque

$$\pm k^{(\mu -2)}Y\mp k^{(\mu -1)}Y'=Y^{(\mu )}$$

valentibus signis superioribus pro $\mu$ pari, inferioribus pro impari. In eo itaque casu, ubi $Y$ et $Y'$ divisorem communem non habent, invenire licet hoc modo duas functiones $Z,$ $Z'$ indeterminatae $x$ tales, ut habeatur

$$ZY+Z'Y'=1$$

V. Haec propositio manifesto etiam inversa valet, puta, si satisfieri potest aequationi

$$ZY+Z'Y'=1$$

ita, ut $Z,$ $Z'$ sint functiones integrae indeterminatae $x,$ ipsae $Y$ et $Y'$ certo divisorem communem habere nequeunt.