Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/46

libata fuerant, novam qualemcunque lucem affundere poterit. Ac primo quidem de altissimo divisore communi duarum functionum algebraicarum integrarum unius indeterminatae agemus. Ubi praemonendum, hic semper tantum de functionibus integris sermonem esse: e qualibus duabus si productum confletur, utraque huius divisor vocatur. Divisoris ordo ex exponente summae potestatis indeterminatae quam continet diiudicatur, nulla prorsus coëfficientium numericorum ratione habita. Ceterum quae ad divisores communes functionum pertinent, eo brevius absolvere licet, quod iis, quae ad divisores communes numerorum spectant, omnino sunt analoga.

Propositis duabus functionibus $Y,$ $Y'$ indeterminatae $x,$ quarum prior sit ordinis altioris aut saltem non inferioris quam posterior, formabimus aequationes sequentes

$${\begin{array}{rcl}Y&=&qY'+Y''\\Y'&=&q'Y''+Y'''\\Y''&=&q''Y'''+Y''''\\{\text{etc.}}&&{\text{ usque ad}}\\Y^{(\mu -1)}&=&q^{(\mu -1)}Y^{(\mu )}\end{array}}$$

ea scilicet lege, ut primo $Y$ dividatur sueto more per $Y';$ dein $Y'$ per residuum primae divisionis $Y''$, quod erit ordinis inferioris quam $Y';$ tunc rursus residuum primum per secundum $Y'''$ et sic porro, donec ad divisionem absque residuo perveniatur, quod tandem necessario evenire debere inde patet, quod ordo functionum $Y',$ $Y'',$ $Y'''$ etc. continuo decrescit. Quas functiones perinde atque quotientes $q,$ $q',$ $q''$ etc. esse functiones integras ipsius $x$, vix opus est monere. His praemissis, manifestum est,

I. regrediendo ab ultima istarum aequationum ad primam, functionem $Y^{(\mu )}$ esse divisorem singularum praecedentium, adeoque certo divisorem communem propositarum $Y,$ $Y'$.

II. Progrediendo a prima aequatione ad ultimam, elucet, quemlibet divisorem communem functionum $Y,$ $Y'$ etiam metiri singulas sequentes, et proin etiam ultimam $Y^{(\mu )}.$ Quamobrem functiones $Y,$ $Y'$ habere nequeunt ullum divisorem communem altioris ordinis quam $Y^{(\mu )},$ omnisque divisor communis eiusdem ordinis ut $Y^{(\mu )}$ erit ad hunc in ratione numeri ad numerum, unde hic ipse pro divisore communi summo erit habendus.