tum (seu, brevitatis caussa, quodvis punctum par) per ramum lineae primae cum alio puncto pari intra circulum iunctum esse debere, similiterque quodvis punctum numero impari notatum cum alio simili puncto per ramum lineae secundae. Quamquam vero haec binorum punctorum connexio secundum indolem functionis perquam diversa esse potest, ita ut in genere determinari nequeat, tamen facile demonstrari potest, quaecunque demum illa sit, semper intersectionem lineae primae cum linea secunda oriri.
Demonstratio huius necessitatis commodissime apagogice repraesentari posse videtur. Scilicet supponamus, iunctionem binorum quorumque punctorum parium, et binorum quorumque punctorum imparium ita adornari posse, ut nulla intersectio rami lineae primae cum ramo lineae secundae inde oriatur. Quoniam axis est pars lineae primae, manifesto punctum cum puncto iunctum erit. Punctum itaque cum nullo puncto ultra axem sito, i.e. cum nullo puncto per numerum maiorem quam expresso iunctum esse potest, alioquin enim linea iungens necessario axem secaret. Si itaque cum puncto iunctum esse supponitur, erit Ex simili ratione, si cum iunctum esse statuitur, erit quia alioquin ramus ramum necessario secaret. Ex eadem caussa punctum cum aliquo punctorum inter et iacentium iunctum erit, patetque si etc. iuncta esse supponantur cum etc., iacere inter et inter et etc. Unde perspicuum est, tandem ad aliquod punctum perventum iri, quod cum puncto iunctum sit, et tum ramus, qui in puncto in circulum intrat, necessario ramum puncta et iungentem secabit. Quia autem alter horum duorum ramorum ad lineam primam, alter ad secundam pertinebit, manifestum iam est, suppositionem esse contradictoriam, adeoque necessario alicubi intersectionem lineae primae cum linea secunda fieri.
primam supra te habuisti, in egressu, infra; quare necessario alicubi in superficiem primam ipsam incidere debuisti, sive in punctum lineae primae. Ceterum ex hoc ratiocinio principiis geometriae situs innixo, quae haud minus valida sunt, quam principia geometriae magnitudinis, sequitur tantummodo, si in aliquo ramo lineae primae in circulum intres, te alio loco ex circulo rursus egredi posse, semper in linea prima manendo, neque vero, viam tuam esse lineam continuam in eo sensu, quo in geometria sublimiori accipitur. Sed hic sufficit, viam esse lineam continuam in sensu communi, i.e. nullibi interruptam sed ubique cohaerentem.
