Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/355

quae rite evoluta ita se habet

$x^{3}-(AA+BB+CC-aa-bb)xx+(aabb-aaBB-aaCC-bbAA-bbCC)x$

$-aabbCC=0\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,$[13]

6.

Iam de indole huius aequationis cubicae sequentia sunt notanda.

I. Ex aequationis termino ultimo $-aabbCC$ concluditur, eam certe habere radicem unam realem, et quidem vel positivam, vel, si $C=0,$ cifrae aequalem. Denotemus hanc radicem realem non negativam per $g.$

II. Subtrahendo ab aequatione 12, ita exhibita

$x={\frac {AAx}{aa+x}}+{\frac {BBx}{bb+x}}+CC$

hanc

$g={\frac {AAg}{aa+g}}+{\frac {BBg}{bb+g}}+CC$

et dividendo per $x-g,$ oritur nova, duas reliquas radices complectens

$1={\frac {aaAA}{(aa+x)(aa+g)}}+{\frac {bbBB}{(bb+x)(bb+g)}}$

quae rite ordinata et soluta suppeditat [14]

$2x={\frac {aaAA}{aa+g}}+{\frac {bbBB}{bb+g}}-aa-bb\pm {\sqrt {\left(aa-bb-{\frac {aaAA}{aa+g}}+{\frac {bbBB}{bb+g}}\right)^{2}+{\frac {4aabbAABB}{(aa+g)(bb+g)}}}}$

Haec expressio, quum quantitas sub signo radicali natura sua sit positiva, vel saltem non negativa, monstrat, etiam duas reliquas radices semper fieri reales.

III. Subtrahendo autem ab invicem aequationes istas sic exhibitas

${\begin{aligned}&gx={\frac {AAgx}{aa+x}}+{\frac {BBgx}{bb+x}}+gCC\\&gx={\frac {AAgx}{aa+g}}+{\frac {BBgx}{bb+g}}+xCC\end{aligned}}$

et dividendo per $g-x,$ prodit aequatio duas reliquas radices continens in hacce forma:

$0={\frac {AAgx}{(aa+g)(aa+x)}}+{\frac {BBgx}{(bb+g)(bb+x)}}+CC$

cui manifesto, si $g$ est quantitas positiva, per valorem positivum ipsius $x$ satisfieri nequit. Unde concludimus, aequationem nostram cubicam radices positivas plures quam unam habere non posse.