Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/35

in cuius peripheria sint $2m$ puncta, in quibus $T=0,$ totidemque, in quibus $U=0,$ et quidem ita, ut singula posteriora inter bina priorum iaceant.

Sit summa omnium coefficientium $A,$ $B$ etc. $K,$ $L,$ $M$ positive acceptorum $=S,$ accipiaturque $R$ simul $>S\surd {2}$ et $>1$: ^[1] tum dico in circulo radio $R$ descripto ea, quae in theoremate enunciata sunt, necessario locum habere. Scilicet designato brevitatis gratia eo puncto huius circumferentiae, quod ${\tfrac {1}{m}}45$ gradibus ab ipsius concursu cum laeva parte axis distat, sive pro quo $\varphi ={\tfrac {1}{m}}45^{o},$ per (1); similiter eo puncto, quod ${\tfrac {3}{m}}45^{o}$ ab hoc concursu distat, sive pro quo $\varphi ={\tfrac {3}{m}}45^{o},$ per (3); porro eo, ubi $\varphi ={\tfrac {5}{m}}45^{o},$ per (5) etc. usque ad $(8m-1),$ quod ${\tfrac {8m-1}{m}}45$ gradibus ab illo concursu distat, si semper versus eandem partem progrederis, (aut ${\tfrac {1}{m}}45^{o}$ a parte opposita), ita ut omnino $4m$ puncta in peripheria habeantur, aequalibus intervallis dissita: iacebit inter $(8m-1)$ et (1) unum punctum, pro quo $T=0;$ nee non sita erunt similia puncta singula inter (3) et (5); inter (7) et (9); inter (11) et (13) etc., quorum itaque multitudo $2m;$ eodemque modo singula puncta, pro quibus $U=0,$ iacebunt inter (1) et (3); inter (5) et (7); inter (9) et (11), quorum multitudo igitur etiam $=2m;$ denique praeter haec $4m$ puncta alia in tota peripheria non dabuntur, pro quibus vel $T$ vel $U$ sit $=0.$

Demonstr. I. In puncto (1) erit $m\varphi =45^{o}$ adeoque

$$T=R^{m-1}\left(R\surd {\tfrac {1}{2}}+A\sin(m-1)\varphi +{\tfrac {B}{R}}\sin(m-2)\varphi +{\text{etc.}}+{\tfrac {L}{R^{m-2}}}\sin \varphi \right)$$

summa vero $A\sin(m-1)\varphi +{\tfrac {B}{R}}\sin(m-2)\phi$ etc. certo non poterit esse maior quam $S,$ adeoque necessario erit minor quam $R\surd {\tfrac {1}{2}}:$ unde sequitur, in hoc puncto valorem ipsius $T$ certo esse positivum. A potiori itaque $T$ valorem positivum habebit, quando $m\varphi$ inter $45^{o}$ et $135^{o}$ iacet, i.e. a puncto (1) usque ad (3) valor ipsius $T$ semper positivus erit. Ex eadem ratione $T$ a puncto (9) usque ad (11) positivum valorem ubique habebit, et generaliter a quovis puncto $(8k+1)$ usque ad $(8k+3),$ denotante $k$ integrum quemcunque. Simili modo $T$ ubique inter (5) et (7), inter (13) et (15) etc. et generaliter inter $(8k+5)$ et $(8k+7)$ valorem negativum habebit, adeoque in omnibus his intervallis nullibi poterit esse $=0.$ Sed quoniam in (3) hic valor est positivus, in (5) negativus: necessario alicubi inter (3) et (5) erit $=0;$ nee non alicubi inter (7) et (9); inter (11) et (13) etc.

1. Quando $S>\surd {\tfrac {1}{2}},$ conditio prima secundam; quando vero $S<\surd {\tfrac {1}{2}},$ secunda primam implicabit.