Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/34

denotantibus $\alpha ,$ $\beta$ numeros integros positivos, quorum summa, ubi maxima est, fit $=m.$ Ceterum facile praevideri potest, cunctos terminos ipsius $T$ factorem $y$ involvere, adeoque lineam primam proprie ex recta (cuius aequatio $y=0$) et curva ordinis ${m-1}^{ti}$ compositam esse; sed necesse non est ad hanc distinctionem hic respicere.

Maioris momenti erit investigatio, an linea prima et secunda crura infinita habeant, et quot qualiaque. In distantia infinita a puncto $C$ linea prima, cuius aequatio $\sin m\varphi +{\tfrac {A}{r}}\sin(m-1)\varphi +{\tfrac {B}{rr}}\sin(m-2)\varphi {\text{ etc.}}=0,$ confundetur cum linea, cuius aequatio $\sin m\varphi =0.$ Haec vero exhibet $m$ lineas rectas in puncto $C$ se secantes, quarum prima est axis $GCG',$ reliquae contra hanc sub angulis ${\tfrac {1}{m}}180,$ ${\tfrac {2}{m}}180,$ ${\tfrac {3}{m}}180$ etc. graduum inclinatae. Quare linea prima $2m$ ramos infinitos habet, qui peripheriam circuli radio infinite descripti in $2m$ partes aequales dispertiuntur, ita ut peripheria a ramo primo secetur in concursu circuli et axis, a secundo in distantia ${\tfrac {1}{m}}180^{o},$ a tertio in distantia ${\tfrac {2}{m}}180^{o}$ etc. Eodem modo linea secunda in distantia infinita a centro habebit asymptotam per aequationem $\cos m\phi =0$ expressam, quae est complexus m rectarum in puncto $C$ sub aequalibus angulis itidem se secantium, ita tamen, ut prima cum axe $CG$ constituat angulum ${\tfrac {1}{m}}90^{o}$ secunda angulum ${\tfrac {3}{m}}90^{o},$ tertia angulum ${\tfrac {5}{m}}90^{o}$ etc. Quare linea secunda etiam $2m$ ramos infinites habebit, quorum singuli medium locum inter binos ramos proximos lineae primae occupabunt, ita ut peripheriam circuli radio infinite magno descripti in punctis, quae ${\tfrac {1}{m}}90^{o},$ ${\tfrac {3}{m}}90^{o},$ ${\tfrac {5}{m}}90^{o}$ etc. ab axe distant, secent. Ceterum palam est, axem ipsum semper duos ramos infinitos lineae primae constituere, puta primum et ${m+1}^{tum}.$ Luculentissime hic ramorum situs exhibetur in fig. 2, pro casu $m=4$ constructa, ubi rami lineae secundae, ut a ramis lineae primae distinguantur, punctati exprimuntur, quod etiam de figura quarta est tenendum ^[1]. Quum vero hae conclusiones maximi momenti sint, quantitatesque infinite magnae quosdam lectores offendere possint: illas etiam absque infinitorum subsidio in art. sequ. eruere docebo.

19.

Theorema. Manentibus cunctis ut supra, ex centro $C$ describi poterit circulus,

1. Figura quarta constructa est supponendo $X=x^{4}-2xx+3x+10,$ in qua itaque lectores disquisitionibus generalibus et abstractis minus assueti situm respectivum utriusque curvae in concreto intueri poterunt. Longitudo lineae $CG$ assumta est $=10$ ($CN=1,26255$)