Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/33

superficiei secundae a priori distinguam. Tunc manifestum est, totum negotium in eo versari, ut demonstretur, ad minimum unum punctum dari, quod simul in plano, in superficie prima et in superficie secunda iaceat.

\subsection*{17.}

Facile perspici potest, superficiem primam partim supra planum partim infra planum iacere; patet enim distantiam a centro $r$ tam magnam accipi posse, ut reliqui termini in $T$ prae primo $r^{m}\sin m\varphi$ evanescant; hic vero, angulo $\varphi$ rite determinato, tam positivus quam negativus fieri potest. Quare planum fixum necessario a superficie prima secabitur; hanc plani cum superficie prima intersectionem vocabo lineam primam; quae itaque determinabitur per aequationem $T=0.$ Ex eadem ratione planum a superficie secunda secabitur; intersectio constituet curvam per aequationem $U=0$ determinatam, quam lineam secundam appellabo. Proprie utraque curva ex pluribus ramis constabit, qui omnino seiuncti esse possunt, singuli vero erunt lineae continuae. Quin adeo linea prima semper erit talis, quam complexam vocant, axisque $GC$ tamquam pars huius curvae spectanda; quicunque enim valor ipsi $r$ tribuatur, $T$ semper fiet $=0,$ quando $\varphi$ aut $=0$ aut $=180^{o}.$ Sed praestat complexum cunctorum ramorum per omnia puncta, ubi $T=0,$ transeuntium tamquam unam curvam considerare (secundum usum in geometria sublimiori generaliter receptum), similiterque cunctos ramos per omnia puncta transeuntes, ubi $U=0.$ Patet iam, rem eo reductam esse, ut demonstretur, ad minimum unum punctum in plano dari, ubi ramus aliquis lineae primae a ramo lineae secundae secetur. Ad hunc finem indolem harum linearum propius contemplari oportebit.

18.

Ante omnia observo, utramque curvam esse algebraicam, et quidem, si ad coordinatas orthogonales revocetur, ordinis $m^{ti}.$ Sumto enim initio abscissarum in $C,$ abscissisque $x$ versus $G,$ applicatis $y$ versus $P,$ erit $x=r\cos \varphi ,$ $y=r\sin \varphi ,$ adeoque generaliter, quidquid sit $n,$

$${\begin{array}{l}r^{n}\sin n\varphi =nx^{n-1}y-{\tfrac {n.n-1.n-2}{1.2.3}}x^{n-3}y^{3}+{\tfrac {n\dots n-4}{1\dots .5}}x^{n-5}y^{5}-{\text{etc.}},\\r^{n}\cos n\varphi =x^{n}-{\tfrac {n.n-1}{1.2}}x^{n-2}yy+{\tfrac {n.n-1.n-2.n-3}{1.2.3.4}}x^{n-4}y^{4}-{\text{etc.}}\end{array}}$$

Quamobrem tum $T$ tum $U$ constabunt ex pluribus huiusmodi terminis $ax^{\alpha }y^{\beta },$