Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/28

Hic sufficit, resolubilitatem generalem aequationum, in illo sensu acceptam , adhuc valde dubiam esse, adeoque demonstrationem, cuius tota vis ab illa suppositione pendet, in praesenti rei statu nihil ponderis habere.

10.

Postea etiam clar. de Foncenex, quum in demonstratione prima Euleri defectum animadvertisset (supra art. 8 obiect. 4), quem tollere non poterat, adhuc aliam viam tentavit et in comment. laudata p. 120 in medium protulit ^[1]. Quae consistit in sequentibus.

Proposita sit aequatio $Z=0$ , designante $Z$ functionem $m^{ti}$ gradus incognitae $z.$ Si $m$ est numerus impar, iam constat, aequationem hanc habere radicem realem; si vero $m$ est par, clar. F. sequenti modo probare conatur, aequationem ad minimum unam radicem formae $p+q\surd -1$ habere. Sit $m=2^{n}i,$ designante $i$ numerum imparem, supponaturque $zz+uz+M'$ esse divisor functionis $Z.$ Tunc singuli valores ipsius $u$ erunt summae binarum radicum aequationis $Z=0$ (mutato signo), quamobrem $u$ habebit ${\tfrac {m.m-1}{1.2}}=m'$ valores, et si $u$ per aequationem $U=0$ determinari supponitur (designante $U$ functionem integram ipsius $u$ et coëfficientium cognitorum in $Z$), haec erit gradus ${m'}^{ti}.$ Facile vero perspicitur, $m'$ fore numerum formae $2^{n-1}i',$ designante $i'$ numerum imparem. Iam nisi $m'$ est impar, supponatur iterum, $uu+u'u+M'$ esse divisorem ipsius $U,$ patetque per similia ratiocinia, $u'$ determinari per aequationem $U'=0,$ ubi $U'$ sit functio ${\tfrac {m'.m'-1}{1.2}}^{ti}$ gradus ipsius $u'.$ Posito vero ${\tfrac {m'.m'-1}{1.2}}=m'',$ erit $m''$ numerus formae $2^{n-2}i'',$ designante $i''$ numerum imparem. Iam nisi $m''$ est impar, statuatur $u'u'+u''u'+M''$ esse divisorem functionis $U'$ determinabiturque $u''$ per aequationem $U''=0,$ quae si supponitur esse gradus ${m'''}^{ti}$ erit numerus formae $2^{n-3}i'''.$ Manifestum est, in serie aequationum $U=0,$ $U'=0,$ $U''=0$ etc. $n^{tam}$ fore gradus imparis adeoque radicem realem habere. Statuemus brevitatis gratia $n=3,$ ita ut aequatio $U''=0$ radicem realem $u''$ habeat, nullo enim negotio perspicitur, pro quovis alio valore ipsius $n$ idem ratiocinium valere. Tunc coëfficientem $M''$ per $u''$ et coëfficientes in $U'$ (quos fore functiones integras coëfficientium in $Z$ facile intelligitur), sive per $u''$ et coëfficientes in

1. In tomo secundo eorundem Miscellaneorum p. 337 dilucidationes ad hanc commentationem continentur: attamen hae ad disquisitionem praesentem non pertinent, sed ad logarithmos quantitatum negativarum, de quibus in eadem comm. sermo fuerat.