Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/26

per coëfficientes determinari possit. Clar. de Foncenex, qui primus hoc observavit (Miscell. phil. math. soc. Taurin. T. I. p. 117), recte contendit, sine demonstratione rigorosa huius propositionis methodum omnem vim perdere, illam vero satis difficilem sibi videri confitetur, et quam viam frustra tentaverit, enarrat.^[1] Attamen haec res haud difficulter per methodum sequentem (cuius summam addigitare tantummodo hic possum) absolvitur: Quamquam in aequationibus quarti gradus non satis clarum est, productum $({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}})({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {c}})({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {d}})$ per coëfficientes $B,$ $C,$ $D$ determinabile esse, tamen facile perspici potest, idem productum etiam esse $=({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}})({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {d}}),$ nec non $=({\mathfrak {c}}+{\mathfrak {a}})({\mathfrak {c}}+{\mathfrak {b}})({\mathfrak {c}}+{\mathfrak {d}})$ denique etiam $=({\mathfrak {d}}+{\mathfrak {a}})({\mathfrak {d}}+{\mathfrak {b}})({\mathfrak {d}}+{\mathfrak {c}}).$ Quare productum $pqr$ erit quadrans summae $({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}})({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {d}})+({\mathfrak {c}}+{\mathfrak {a}})({\mathfrak {c}}+{\mathfrak {b}})({\mathfrak {c}}+{\mathfrak {d}})+({\mathfrak {d}}+{\mathfrak {a}})({\mathfrak {d}}+{\mathfrak {b}})({\mathfrak {d}}+{\mathfrak {c}}),$ quam, si evolvatur, fore functionem rationalem integram radicum ${\mathfrak {a}},$ ${\mathfrak {b}},$ ${\mathfrak {c}},$ ${\mathfrak {d}}$ talem, in quam omnes eadem ratione ingrediantur, nullo negotio a priori praevideri potest. Tales vero functiones semper rationaliter per coëfficientes aequationis, cuius radices sunt ${\mathfrak {a}},$ ${\mathfrak {b}},$ ${\mathfrak {c}},$ ${\mathfrak {d}},$ exprimi possunt. Idem etiam manifestum est, si productum $pqr$ sub hanc formam redigatur:

$${\tfrac {1}{2}}\left({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}-{\mathfrak {c}}-{\mathfrak {d}}\right)\times {\tfrac {1}{2}}\left({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {c}}-{\mathfrak {b}}-{\mathfrak {d}}\right)\times {\tfrac {1}{2}}\left({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {d}}-{\mathfrak {b}}-{\mathfrak {c}}\right)$$

quod productum evolutum omnes ${\mathfrak {a}},$ ${\mathfrak {b}},$ ${\mathfrak {c}},$ ${\mathfrak {d}}$ eodem modo implicaturum esse facile praevideri potest. Simul periti facile hinc colligent, quomodo hoc ad altiores aequationes applicari debeat. Completam demonstrationis expositionem, quam hic apponere brevitas non permittit, una cum uberiori disquisitione de functionibus plures variabiles eodem modo involventibus ad aliam occasionem mihi reservo.

Ceterum observo, praeter has quatuor obiectiones, adhuc quaedam alia in demonstratione E. reprehendi posse, quae tamen silentio praetereo, ne forte censor nimis severus esse videar, praesertim quum praecedentia satis ostendere videantur, demonstrationem in ea quidem forma, in qua ab E. proposita est, pro completa neutiquam haberi posse.

Post hanc demonstrationem, E. adhuc aliam viam theorema pro aequationibus, quarum gradus non est potestas binaria, ad talium aequationum resolutionem reducendi ostendit: attamen quum methodus haec pro aequationibus quarum

1. In hanc expositionem error irrepsisse videtur, scilicet p. 118. l. 5. loco characteris $p$ (on choisissait seulement celles où entrait $p$ etc.), necessario legere oportet, une même racine quelconque de l'équation oposee, aut simile quid, quum illud nullum sensum habeat.