Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/24

minatas fieri, si $C=0$ et pro $u$ assumatur valor $0,$ illorumque valores non solum sine extractione radicum assignari non posse, sed adeo ne reales quidem esse, si fuerit $BB-4D$ quantitas negativa. Quamquam vero in hoc casu $u$ adhuc alios valores reales habere, quibus valores reales ipsarum $\alpha ,$ $\beta$ respondeant, facile perspici potest: tamen vereri aliquis posset, ne huius difficultatis enodatio (quam E. omnino non attigit) in aequationibus altioribus multo maiorem operam facessat. Certe haec res in demonstratione exacta neutiquam silentio praeteriri debet.

3. Ill. E. supponit tacite, aequationem $X=0$ habere $2m$ radices, harumque summam statuit $=0,$ ideo quod terminus secundus in $X$ abest. Quomodo de hac licentia (qua omnes auctores de hoc argumento utuntur) sentiam, iam supra art. 3 declaravi. Propositio, summam omnium radicum aequationes alicuius coëfficienti primo, mutato signo, aequalem esse, ad alias aequationes applicanda non videtur, nisi quae radices habent: iam quum per hanc ipsam demonstrationem evinci debeat, aequationem $X=0$ revera radices habere, haud permissum videtur, harum existentiam supponere. Sine dubio ii, qui huius paralogismi fallaciam nondum penetraverunt, respondebunt, hic non demonstrari, aequationi $X=0$ satisfieri posse (nam hoc dicere vult expressio, eam habere radices), sed tantummodo, ipsi per valores ipsius $x$ sub forma $a+b\surd {-1}$ contentos satisfieri posse; illud vero tamquam axioma supponi. At quum aliae quantitatum formae, praeter realem et imaginariam $a+b\surd {-1}$ concipi nequeant, non satis luculentum videtur, quomodo id, quod demonstrari debet, ab eo, quod tamquam axioma supponitur, differat; quin adeo si possibile esset adhuc alias formas quantitatum excogitare, puta formam $F,$ $F',$ $F''$ etc.: tamen sine demonstratione admitti non deberet, cuius aequationi per aliquem valorem ipsius $x$ aut realem, aut sub forma $a+b\surd {-1}$ aut sub forma $F,$ aut sub $F'$ etc. contentum satisfieri posse. Quamobrem axioma illud alium sensum habere nequit quam hunc: Cuivis aequationi satisfieri potest aut per valorem realem incognitae, aut per valorem imaginarium sub forma $a+b\surd {-1}$ contentum, aut forsan per valorem sub forma alia hucusque ignota contentum, aut per valorem, qui sub nulla omnino forma continetur. Sed quomodo huiusmodi quantitates, de quibus ne ideam quidem fingere potes — vera umbrae umbra — summari aut multiplicari possint, hoc ea perspicuitate, quae in mathesi semper postulatur, certo non intelligitur ^[1]

1. Tota haec res multum illustrabitur per aliam disquisitionem sub prelo iam sudantem, ubi in argu