Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/22

quantum alti; et pro gradu indeterminato, plane impossibile (iudice ipso E. p. 239). Attamen hic sufficit, unam illius aequationis proprietatem novisse, scilicet quod terminus ultimus in $U$ (qui incognitam $u$ non implicat) necessario est negativus, unde sequi constat, aequationem ad minimum unam radicem realem habere, sive $u$ et proin etiam $\alpha ,$ $\beta$ etc. $\lambda ,$ $\mu$ etc. ad minimum uno modo realiter determinari posse: illam vero proprietatem per sequentes reflexiones confirmare licet. Quum $x^{m}-ux^{m-1}+\alpha x^{m-2}+$ etc. supponatur esse factor functionis $X$: necessario $u$ erit summa $m$ radicum aequationis $X=0,$ adeoque totidem valores habere debebit, quot modis diversis ex $2m$ radicibus $m$ excerpi possunt, sive per principia calculi combinationum ${\tfrac {2m.2m-1.2m-2.\dots .m+1}{1.2.3\dots m}}$ valores. Hic numerus semper erit impariter par (demonstrationem haud difficilem supprimo): si itaque ponitur $=2k,$ ipsius semissis $k$ impar erit; aequatio $U=0$ vero erit gradus $2k^{ti}$. Iam quoniam in aequatione $X=0$ terminus secundus deest: summa omnium $2m$ radicum erit $0$; unde patet, si summa quarumcunque $m$ radicum fuerit $+p,$ reliquarum summam fore $-p,$ i.e. si $+p$ est inter valores ipsius $u,$ etiam $-p$ inter eosdem erit. Hinc E. concludit, $U$ esse productum ex $k$ factoribus duplicibus talibus $uu-pp,$ $uu-qq,$ $uu-rr$ etc., denotantibus $+p,$ $-p,$ $+q,$ $-q$ etc. omnes $2k$ radices aequationis $U=0,$ unde, propter multitudinem iraparem herum factorum, terminus ultimus in $U$ erit quadratum producti $pqr$ etc. signo negativo affectum. Productum autem $pqr$ etc. semper ex coëfficientibus $B,$ $C$ etc. rationaliter determinari potest, adeoque necessario erit quantitas realis. Huius itaque quadratum signo negativo affectum certo erit quantitas negativa. Q.E.D.

Quum hi duo factores reales ipsius $X$ sint gradus $m^{ti}$ atque $m$ potestas numeri $2$: eadem ratione uterque rursus in duos factores reales ${\tfrac {1}{2}}m$ dimensionum resolvi poterit. Quoniam vero per repetitam dimidiationem numeri m necessario tandem ad binarium pervenitur, manifestum est, per continuationem operationis functionem $X$ tandem in factores reales secundi gradus resolutam haberi.

Quodsi vero functio talis proponitur, in qua terminus secundus non deest, puta $x^{2m}+Ax^{2m-1}+Bx^{2m-2}+{\text{etc.}}+M,$ designante etiamnum $2m$ potestatem binariam, haec per substitutionem $x=y-{\tfrac {A}{2m}}$ transibit in similem functionem termino secundo carentem. Unde facile concluditur, etiam illam functionem in factores reales secundi gradus resolubilem esse.

Denique proposita functione gradus $n^{ti}$ designante $n$ numerum, qui non