Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/21

det. Tum methodus d'Alembertiana non sine multis ambagibus, et in quibusdam casibus nullo forsan modo, ad principia indubitata reduci posse videtur.

Propter has rationes demonstrationem d'Alembertianam pro satisfaciente habere nequeo. Attamen hoc non obstante verus demonstrationis nervus probandi per omnes obiectiones neutiquam infringi mihi videtur, credoque eidem fundamento (quamvis longe diversa ratione, et saltem maiori circumspicientia) non solum demonstrationem rigorosam theorematis nostri superstrui, sed ibinde omnia peti posse, quae circa aequationum transscendentium theoriam desiderari queant. De qua re gravissima alia occasione fusius agam; conf. interim infra art. 24.

7.

Post d'Alembertum ill. Euler disquisitiones suas de eodem argumento promulgavit, Recherches sur les racines imaginaires des equations, Hist. de l'Acad. de Berlin A. 1749, p. 223 sqq. Methodum duplicem hic tradidit: prioris summa continetur in sequentibus.

Primo ill. E. suspicit demonstrare, si $m$ denotet quamcunque dignitatem numeri $2$, functionem $x^{2m}+Bx^{2m-2}+Cx^{2m-3}+{\text{etc.}}+M=X$ (in qua coëfficiens termini secundi est $=0$) semper in duos factores reales resolvi posse, in quibus $x$ usque ad $m$ dimensiones ascendat. Ad hunc finem duos factores assumit,

$$x^{m}-ux^{m-1}+\alpha x^{m-2}+\beta x^{m-3}+{\text{ etc., et }}x^{m}+ux^{m-1}+\lambda x^{m-2}+\mu x^{m-3}+{\text{etc.}}$$

ubi coëfficientes $u$, $\alpha$, $\beta$, etc. $\lambda$, $\mu$ etc. adhuc incogniti sunt, horumque productum aequale ponit functioni $X$. Tum coëfficientium comparatio suppeditat $2m-1$ aequationes, manifestoque demonstrari tantummodo debet, incognitis $u$, $\alpha$, $\beta$, etc. $\lambda$, $\mu$ (quarum multitudo etiam est $2m-1$) tales valores reales tribui posse, qul aequationibus illis satisfaciant. Iam E. affirmat, si primo $u$ tamquam cognita consideretur, ita ut multitudo incognitarum unitate minor sit quam multitudo aequationum, his secundum methodos algebraicas notas rite combinatis omnes $\alpha$, $\beta$ etc. $\lambda$, $\mu$ etc. rationaliter et sine ulla radicum extractione per $u$ et coëfficientes $B,C$ etc. determinari posse, adeoque valores reales nancisci, simulac $u$ realis fiat. Praeterea vero omnes $\alpha$, $\beta$ etc. $\lambda$, $\mu$ etc. eliminari poterunt, ita ut prodeat aequatio $U=0$, ubi $U$ erit functio integra solius $u$ et coëfficientium cognitorum. Hanc aequationem ipsam per methodum eliminationis vulgarem evolvere, opus immensum foret, quando aequatio proposita $X=0$ est gradus ali-