Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/18

Hinc sequitur, si $X$ sit talis functio ipsius $x$, quae valorem realem $V$ ex valore ipsius $x$ reali $v$ obtineat, atque etiam valorem realem quantitate infinite parva vel maiorem vel minorem ex valore reali ipsius $x$ assequatur, eandem etiam valorem realem quantitate infinite parva atque adeo finita vel minorem vel maiorem quam $V$ (resp.) recipere posse, tribuendo ipsi $x$ valorem sub forma $p+q\surd {-1}$ contentum. Hoc nullo negotio ex praecc. derivatur, si pro $X$ substitui concipitur $V+Y$, et pro $x$, $v+y$.

Tandem afiirmat ill. d'Alembert, si $X$ totum intervallum aliquod inter duos valores reales $R$, $S$ percurrere posse supponatur (i.e. tum ipsi $R$, tum ipsi $S$, tum omnibus valoribus realibus intermediis aequalis fieri), tribuendo ipsi $x$ valores semper in forma $p+q\surd {-1}$ contentos; functionem X quavis quantitate finita reali adhuc augeri vel diminui posse (prout $S>R$ vel $S<R$), manente $x$ semper sub forma $p+q\surd {-1}$. Si enim quantitas realis $U$ daretur (inter quam et $R$ supponitur $S$ iacere), cui $X$ per talem valorem ipsius $x$ aequalis fieri non posset, necessario valorem maximum ipsius $X$ dari (scilicet quando $S>R$; minimum vero, quando $S<R$), puta $T$, quem ex valore ipsius $x$, $p+q\surd {-1}$, consequeretur, ita ut ipsi $x$ nullus valor sub simili forma contentus tribui posset, qui functionem $X$ vel minimo excessu propius versus $U$ promoveret. Iam si in aequatione inter $X$ et $x$ pro $x$ ubique substituatur $p+q\surd {-1}$ , atque tum pars realis, tum pars, quae factorem $\surd {-1}$ implicet, hocomisso, cifrae aequentur: ex duabus aequationibus hinc prodeuntibus (in quibus $p$, $q$ et $X$ cum constantibus permixtae occurreut) per eliminationem duas alias elici posse, in quarum altera $p$, $X$ et constantes reperiantur, altera a $p$ libera solas $q$, $X$ et constantes involvat. Quamobrem quum $X$ per valores reales ipsarum $p,q$ omnes valores ab $R$ usque ad $T$ percurrerit, per praecc. $X$ versus valorem $U$ adhuc propius accedere posse tribuendo ipsius $p$, $q$ valores tales $\alpha +\gamma \surd {-1}$, $\beta +\delta \surd {-1}$ resp. Hinc vero fieri $x=\alpha -\delta +(\gamma +\beta )\surd {-1}$, i.e. adhuc sub forma $p+q\surd {-1}$ esse, contra hyp.

Iam si $X$ functionem talem ut $x^{m}+Ax^{m-1}+Bx^{m-2}+{\text{etc.}}+M$ denotare supponitur, nullo negotio perspicitur, ipsi $x$ tales valores reales tribui posse, ut $X$ totum aliquod intervallum inter duos valores reales percurrat. Quare $x$ valorem aliquem sub forma $p+q\surd {-1}$ contentum talem etiam nancisci poterit, unde $X$ fiat $=0$. Q.E.D.^[1]

1. Observare convenit, ill. d'Alembert in sua huius demonstrationis expositione considerationes geometricas adhibuisse, atque $X$ tamquam abscissam, $x$ tamquam ordinatam curvae spectavisse (secundum morem omnium geome-