Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/173

$\int \left({\frac {z^{\frac {\lambda +1}{k}}}{k(1-z)^{\frac {1}{k}}}}-{\frac {z^{\lambda }}{1-z}}\right)\operatorname {d} z$

quod itaque inter limites $z=0$ atque $z=1$ sumtum aequale est ipsi $\Omega .$ Sed crescente $k$ in infinitum, limes ipsius $\Omega$ est $\Psi \lambda ,$ limes ipsius ${\tfrac {\lambda +1}{k}}$ est $0,$ limes ipsius $k(1-z)^{\frac {1}{k}}$ vero est $\log {\tfrac {1}{z}}$ sive $-\log z.$ Quare habemus

[77]	$\Psi \lambda =\int \left({\frac {1}{\log {\frac {1}{z}}}}-{\frac {z^{\lambda }}{1-z}}\right)\operatorname {d} z=\int \left(-{\frac {1}{\log z}}-{\frac {z^{\lambda }}{1-z}}\right)\operatorname {d} z$

a $z=0$ usque ad $z=1.$

36.

Integralia determinata, per quae supra expressae sunt functiones $\Pi \lambda ,$ $\Pi \lambda .\Psi \lambda ,$ restringere oportuit ad valores ipsius $\lambda$ tales, ut $\lambda +1$ evadat quantitas positiva: haec restrictio ex ipsa deductione demanavit, reveraque facile perspicitur, pro aliis valoribus ipsius $\lambda$ illa integralia semper fieri infinita, etiamsi functiones $\Pi \lambda ,$ $\Pi \lambda .\Psi \lambda$ finitae manere possint. Veritati formula 77 certo eadem conditio subesse debet, ut $\lambda +1$ sit quantitas positiva (alioquin enim integrale certo infinitum evadit, etiamsi functio $\Psi \lambda$ maneat finita): sed deductio formulae primo aspectu generalis nullique restrictioni obnoxia esse videtur. Sed propius attendenti facile patebit, ipsi analysi, per quam formula eruta est, hanc restrictionem iam inesse. Scilicet tacite supposuimus, integrale $\int {\frac {1-x^{\lambda }}{1-x}}\operatorname {d} x$ cui aequale $\int {\frac {kx^{k-1}-kx^{\lambda k+k-1}}{1-x^{k}}}\operatorname {d} x$ substituimus, habere valorem finitum, quae conditio requirit, ut $\lambda +1$ sit quantitas positiva. Ex analysi nostra quidem sequitur, haec duo integralia semper esse aequalia, si hoc extendatur ab $x=0$ usque ad $x=1-\omega ,$ illud ab $x=0$ usque ad $x=(1-\omega )^{k},$ quantumvis parva sit quantitas $\omega ,$ modo non sit $=0{:}$ sed hoc non obstante in casu eo, ubi $\lambda +1$ non est quantitas positiva, duo integralia ab $x=0$ usque ad eundem terminum $x=1-\omega$ extensa neutiquam ad aequalitatem convergunt, sed potius tunc ipsorum differentia, decrescente $\omega$ in infinitum, in infinitum crescet. Hocce exemplum monstrat, quanta circumspicientia opus sit in tractandis quantitatibus infinitis, quae in ratiociniis analyticis nostro iudicio eatenus tantum sunt admittendae, quatenus ad theoriam limitum reduci possunt.