Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/17

beat, patet, per continuationem huius operationis functionem $X$ tandem in factores reales simplices vel duplices resolutum iri, aut, si pro singulis factoribus realibus duplicibus binos imaginarios simplices adhibere mavis, in $m$ factores simplices.

5.

Prima theorematis demonstratio illustri geometrae d'Alembert debetur, Recherches sur le calcul integral, Histoire de l'Acad. de Berlin, Année' 1746. p. 182 sqq. Eadem extat in Bougainville, Traité du calcul integral, à Paris} 1754. p. 47 sqq. Methodi huius praecipua momenta haec sunt.

Primo ostendit, si functio quaecunque $X$ quantitatis variabilis $x$ fiat $=0$ aut pro $x=0$ aut pro $x=\infty$, atque valorem infinite parvum realem positivum nancisci possit tribuendo ipsi x valorem realem: hanc functionem etiam valorem infinite parvum realem negativum obtinere posse per valorem ipsius $x$ vel realem vel sub forma imaginaria $p+q\surd {-1}$ contentum. Scilicet designante $\Omega$ valorem infinite parvum ipsius $X$, et $\omega$ valorem respondentem ipsius $x$, asserit $\omega$ per seriem valde convergentem $a\Omega ^{\alpha }+b\Omega ^{\beta }+c\Omega ^{\gamma }$ etc. exprimi posse, ubi exponentes $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ etc. sint quantitates rationales continuo crescentes, et quae adeo ad minimum in distantia certa ab initio positivae evadant, terminosque, in quibus adsint, infinite parvos reddant. Iam si inter omnes hos exponentes nullus occurrat, qui sit fractio denominatoris paris, omnes terminos seriei reales fieri tum pro positive tum pro negative valore ipsius $\Omega$; si vero quaedam fractiones denominatoris paris inter illos exponentes reperiantur, constare, pro valore negativo ipsius $\Omega$ terminos respondentes in forma $p+q\surd {-1}$ contentos esse. Sed propter infinitam seriei convergentiam in casu priori sufiicere, si terminus primus (i.e. maximus) solus retineatur, in posteriori ultra eum terminum, qui partem imaginariam primus producat, progredi opus non esse.

Per similia ratiocinia ostendi posse, si $X$ valorem negativum infinite parvum ex valore reali ipsius $x$ assequi possit: functionem illam valorem realem positivum infinite parvum ex valore reali ipsius $x$ vel ex imaginario sub forma $p+q\surd {-1}$ contento adipisci posse.

Hinc secundo concludit, etiam valorem aliquem realem finitum ipsius $X$ dari, in casu priori negativum, in posteriori positivum, qui ex valore imaginario ipsius $x$ sub forma $p+q\surd {-1}$ contento produci possit.