Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/16

Haec pagina emendata est

biles inter illas sint (quae expressio proprio significat, etiamsi aliquae deficiant): hoc neutiquam probare possum. Nam radices impossibiles, in tali sensu acceptae, tamen sunt radices, et tum axioma illud nullo modo sine demonstratione admitti potest, neque inepte dubitares, annon aequationes exstare possint, quae ne impossibiles quidem radices habeant?^[1]

4.

Antequam aliorum geometrarum demonstrationes theorematis nostri recenseam, et quae in singulis reprehendenda mihi videantur, exponam: observo sufficere, si tantummodo ostendatur, omni aequationi quantivis gradus

x^{m}+Ax^{m-1}+Bx^{m-2}+{\text{etc.}}+M=0

sive $X=0$ (ubi coëfficientes $A,B$ etc. reales esse supponuntur) ad minimum uno modo satisfieri posse per valorem ipsius $x$ sub forma $a+b\surd {-1}$ contentum. Constat enim, $X$ tunc divisibilem fore per factorem realem secundi gradus $xx-2ax+aa+bb$ , si $b$ non fuerit $=0$ , et per factorem realem simplicem $x-a$ , si $b=0$ . In utroque casu quotiens erit realis, et inferioris gradus quam $X$ ; et quum hic eadem ratione factorem realem primi secundive gradus habere de-

↑ Sub quantitate imaginaria hic semper intelligo quantitatem in forma $a+b\surd {-1}$ contentam, quamdiu $b$ non est $=0$ . In hoc sensu expressio illa semper ab omnibus geometris primae notae accepta est, neque audiendos censeo, qui quantitatem $a+b\surd {-1}$ in eo solo casu imaginariam vocare voluerunt, ubi $a=0$ , impossibilem vero quando non sit $a=0$ , quum haec distinctio neque necessaria sit neque ullius utilitatis. Si quantitates imaginariae omnino in analysi retineri debent (quod pluribus rationibus consultius videtur, quam ipsas abolere, modo satis solide stabiliantur): necessario tamquam aeque possibiles ac reales spectandae sunt; quamobrem reales et imaginarias sub denominatione communi quantitatum possibilium complecti mallem: contra, impossibilem dicerem quantitatem, quae conditionibus satisfacere debeat, quibus ne imaginariis quidem concessis satisfieri potest, attamen ita, ut phrasis haec idem significet ac si dicas, talem quantitatem in toto magnitudinum ambitu non dari. Hinc vero genus peculiare quantitatum formare, neutiquam concederem. Quodsi quis dicat, triangulum rectilineum aequilaterum rectangulum impossibile esse, nemo erit qui neget. At si tale triangulum impossibile tamquam novum triangulorum genus contemplari, aliasque triangulorum proprietates ad illud applicare voluerit, ecquis risum teneat? Hoc esset verbis ludere seu potius abuti. Quamvis vero etiam summi mathematici saepius veritates, quae quantitatum ad quas spectant possibilitatem manifesto supponunt, ad tales quoque applicaverint, quarum possibilitas adhuc dubia erat; neque abnuerim, huiusmodi licentias plerumque ad solam formam et quasi velamen ratiociniorum pertinere, quod veri geometrae acies mox penetrare possit: tamen consultius, scientiaeque, quae tamquam perfectissimum claritatis et certitudinis exemplar merito celebratur, sublimitate magis dignum videtur, tales libertates aut omnino proscribere, aut saltem parcius neque alias ipsis uti, nisi ubi etiam minus exercitati perspicere valeant, rem etiara absque illarum subsidio etsi forsan minus breviter tamen aeque rigorose absolvi potuisse. — Ceterum haud negaverim, ea quae hic contra impossibilium abusum dixi, quodam respectu etiam contra imaginarias obiici posse: sed harum vindicationem nee non totius huius rei expositionem uberiorem ad aliam occasionem mihi reservo.

[footnote1-1] Sub quantitate imaginaria hic semper intelligo quantitatem in forma $a+b\surd {-1}$ contentam, quamdiu $b$ non est $=0$ . In hoc sensu expressio illa semper ab omnibus geometris primae notae accepta est, neque audiendos censeo, qui quantitatem $a+b\surd {-1}$ in eo solo casu imaginariam vocare voluerunt, ubi $a=0$ , impossibilem vero quando non sit $a=0$ , quum haec distinctio neque necessaria sit neque ullius utilitatis. Si quantitates imaginariae omnino in analysi retineri debent (quod pluribus rationibus consultius videtur, quam ipsas abolere, modo satis solide stabiliantur): necessario tamquam aeque possibiles ac reales spectandae sunt; quamobrem reales et imaginarias sub denominatione communi quantitatum possibilium complecti mallem: contra, impossibilem dicerem quantitatem, quae conditionibus satisfacere debeat, quibus ne imaginariis quidem concessis satisfieri potest, attamen ita, ut phrasis haec idem significet ac si dicas, talem quantitatem in toto magnitudinum ambitu non dari. Hinc vero genus peculiare quantitatum formare, neutiquam concederem. Quodsi quis dicat, triangulum rectilineum aequilaterum rectangulum impossibile esse, nemo erit qui neget. At si tale triangulum impossibile tamquam novum triangulorum genus contemplari, aliasque triangulorum proprietates ad illud applicare voluerit, ecquis risum teneat? Hoc esset verbis ludere seu potius abuti. Quamvis vero etiam summi mathematici saepius veritates, quae quantitatum ad quas spectant possibilitatem manifesto supponunt, ad tales quoque applicaverint, quarum possibilitas adhuc dubia erat; neque abnuerim, huiusmodi licentias plerumque ad solam formam et quasi velamen ratiociniorum pertinere, quod veri geometrae acies mox penetrare possit: tamen consultius, scientiaeque, quae tamquam perfectissimum claritatis et certitudinis exemplar merito celebratur, sublimitate magis dignum videtur, tales libertates aut omnino proscribere, aut saltem parcius neque alias ipsis uti, nisi ubi etiam minus exercitati perspicere valeant, rem etiara absque illarum subsidio etsi forsan minus breviter tamen aeque rigorose absolvi potuisse. — Ceterum haud negaverim, ea quae hic contra impossibilium abusum dixi, quodam respectu etiam contra imaginarias obiici posse: sed harum vindicationem nee non totius huius rei expositionem uberiorem ad aliam occasionem mihi reservo.

[1]