Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/140

3.

Coëfficientes potestatum $x^{m},$ $x^{m+1}$ in serie nostra sunt ut

$1+{\tfrac {\gamma +1}{m}}+{\tfrac {\gamma }{mm}}:1+{\tfrac {\alpha +\beta }{m}}+{\tfrac {\alpha \beta }{mm}}$

adeoque ad rationem aequalitatis eo magis accedunt, quo maior assumitur $m$. Si itaque etiam elemento quarto $x$ valor determinatus tribuitur, ab huius indole convergentia seu divergentia pendebit. Quoties scilicet ipsi $x$ tribuitur valor realis, positivus seu negativus, unitate minor, series certo, si non statim ab initio, tamen post certum intervallum, convergens erit, atque ad summam finitam ex asse determinatam perducet. Idem eveniet per valorem imaginarium ipsius $x$ formae $a+b{\sqrt {-1}}$, quoties $aa+bb<1$. Contra pro valore ipsius $x$ reali unitateque maiori, vel pro imaginario formae $a+b{\sqrt {-1}}$, quoties $aa+bb>1$, series si non statim tamen post certum intervallum necessario divergens erit, ita ut de ipsius summa sermo esse nequeat. Denique pro valore $x=1$ (seu generalius pro valore formae $a+b{\sqrt {-1}}$, quoties $aa+bb=1$) seriei convergentia seu divergentia ab ipsarum $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma$ indole pendebit, de qua, atque in specie de summa seriei pro $x=1$, in Sect. tertia loquemur.

Patet itaque, quatenus functio nostra tamquam summa seriei definita sit, disquisitionem natura sua restrictam esse ad casus eos, ubi series revera convergat, adeoque quaestionem ineptam esse, quinam sit valor seriei pro valore ipsius $x$ unitate maiori. Infra autem, inde a Sectione quarta, functionem nostram altiori principio superstruemus, quod applicationem generalissimam patiatur.

4.

Differentiatio seriei nostrae, considerando solum elementum quartum $x$ tamquam variabile, ad functionem similem perducit, quum manifesto habeatur

${\tfrac {\operatorname {d} F(\alpha ,\beta ,\gamma ,x)}{\operatorname {d} x}}={\tfrac {\alpha \beta }{\gamma }}F(\alpha +1,\beta +1,\gamma +1,x)$

Idem valet de differentiationibus repetitis.

5.

Operae pretium erit, quasdam functiones, quas ad seriem nostram reducere licet, quarumque usus in tota analysi est frequentissimus, hic apponere.