Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/13

DEMONSTRATIO NOVA THEOREMATIS

OMNEM FUNCTIONEM ALGEBRAICAM RATIONALEM INTEGRAM

UNIUS VARIABILIS

IN FACTORES REALES PRIMI VEL SECUNDI GRADUS RESOLVI POSSE.

1.

Quaelibet aequatio algebraica determinata reduci potest ad formam

$$x^{m}+Ax^{m-1}+Bx^{m-2}+{\text{etc.}}+M=0$$

ita ut $m$ sit numerus integer positivus. Si partem primam huius aequationis per $X$ denotamus, aequationique $X=0$ per plures valores inaequales ipsius $x$ satisfieri supponimus, puta ponendo $x=\alpha$, $x=\beta$, $x=\gamma$ etc., functio $X$ per productum e factoribus $x-\alpha$, $x-\beta$, $x-\gamma$ etc. divisibilis erit. Vice versa, si productum e pluribus factoribus simplicibus $x-\alpha$, $x-\beta$, $x-\gamma$ etc. functionem $X$ metitur: aequationi $X=0$ satisfiet, aequando ipsam $x$ cuicunque quantitatum $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ etc. Denique si $X$ producto ex $m$ factoribus talibus simplicibus aequalis est (sive omnes diversi sint, sive quidam ex ipsis identici): alii factores simplices praeter hos functionem $X$ metiri non poterunt. Quamobrem aequatio $m^{ti}$ gradus plures quam $m$ radices habere nequit; simul vero patet, aequationem $m^{ti}$ gradus pauciores radices habere posse, etsi $X$ in $m$ factores simplices resolubilis sit: si enim inter hos factores aliqui sunt identici, multitudo modorum diversorum aequationi satisfaciendi necessario minor erit quam $m$. Attamen concinnitatis caussa geometrae dicere maluerunt, aequationem in hoc quoque casu $m$ radices habere, et tantummodo quasdam ex ipsis aequales inter se evadere: quod utique sibi permittere potuerunt.