Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/99

sive statuendo ${\textstyle a=4q+1}$, ${\textstyle b=4r+2}$,

$$(13)=qq+q+rr+2r+1$$

Erit itaque (13) impar, quoties ${\textstyle r}$ par est; contra (13) par erit, quoties ${\textstyle r}$ est impar: unde colligimus, ${\textstyle 2}$ pertinere ad ${\textstyle B}$, quoties ${\textstyle b}$ sit formae ${\textstyle 8m+2}$, ad ${\textstyle D}$ vero, quoties ${\textstyle b}$ sit formae ${\textstyle 8m+6}$.

Summa harum investigationum ita enunciari potest:

Numerus ${\textstyle 2}$ pertinet ad complexum ${\textstyle A}$, ${\textstyle B}$, ${\textstyle C}$ vel ${\textstyle D}$, prout numerus ${\textstyle {\frac {1}{2}}b}$ est formae ${\textstyle 4m}$, ${\textstyle 4m+1}$, ${\textstyle 4m+2}$ vel ${\textstyle 4m+3}$.

22.

In Disquisitionibus Arithmeticis theoriam generalem divisionis circuli, atque solutionis aequationis ${\textstyle x^{p}-1=0}$ explicavimus, interque alia docuimus, si ${\textstyle \mu }$ sit divisor numeri ${\textstyle p-1}$, functionem ${\textstyle {\frac {x^{p}-1}{x-1}}}$ in ${\textstyle \mu }$ factores ordinis ${\textstyle {\frac {p-1}{\mu }}}$ resolvi posse adiumento aequationis auxiliaris ordinis ${\textstyle \mu }$. Praeter theoriam generalem huius resolutionis simul casus speciales, ubi ${\textstyle \mu =2}$ vel ${\textstyle \mu =3}$, in illo opere artt. 356-358 seorsim consideravimus, aequationemque auxiliarem a priori assignare docuimus, i.e. absque evolutione schematis residuorum minimorum potestatum alicuius radicis primitivae pro modulo ${\textstyle p}$. Iam vel nobis non monentibus lectores attenti facile percipient nexum arctissimum casus proximi istius theoriae, puta pro ${\textstyle \mu =4}$, cum investigationibus hic in artt. 15-20 explicatis, quarum adiumento, ille quoque sine difficultate complete absolvi poterit. Sed hanc tractationem ad aliam occasionem nobis reservamus, ideoque etiam in commentatione praesente disquisitionem in forma pure arithmetica perficere maluimus, theoria aequationis ${\textstyle x^{p}-1=0}$ nullo modo immixta. Contra coronidis loco adhuc quaedam alia theoremata nova pure arithmetica, cum argumento hactenus pertractato arctissime coniuncta, adiiciemus.

23.

Si potestas ${\textstyle (x^{4}+1)^{{\frac {1}{2}}(p-1)}}$ secundum theorema binomiale evolvitur, tres termini aderunt, in quibus exponens ipsius ${\textstyle x}$ per ${\textstyle p-1}$ divisibilis est, puta

$$x^{2(p-1)},Px^{p-1}{\text{ atque }}1$$