Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/98

21.

Postquam problema nostrum solvimus, ad disquisitionem principalem revertimur, determinationem completam complexus, ad quem numerus ${\textstyle 2}$ pertinet, iam aggressuri.

I. Quoties ${\textstyle p}$ est formae ${\textstyle 8n+1}$, iam constat, numerum ${\textstyle 2}$ vel in complexu ${\textstyle A}$ vel in complexu ${\textstyle C}$ inveniri. In casu priori facile perspicitur, etiam numeros ${\textstyle {\frac {1}{2}}(p-1)}$, ${\textstyle {\frac {1}{2}}(p+1)}$ ad ${\textstyle A}$ pertinere, in posteriori vero ad ${\textstyle C}$. Iam perpendamus, si ${\textstyle \alpha }$ et ${\textstyle \alpha +1}$ sint numeri contigui complexus ${\textstyle A}$, etiam ${\textstyle p-\alpha -1}$, ${\textstyle p-\alpha }$ tales numeros esse, sive, quod idem est, numeros complexus ${\textstyle A}$ tales, quos sequatur numerus ex eodem complexu, binos semper associatos esse, ${\textstyle (\alpha }$ et ${\textstyle p-1-\alpha )}$. Talium itaque numerorum multitudo, ${\textstyle (00)}$, semper erit par, nisi quis exstat sibi ipse associatus, i.e. nisi ${\textstyle {\frac {1}{2}}(p-1)}$ ad ${\textstyle A}$ pertinet, in quo casu multitudo illa impar erit. Hinc colligimus, ${\textstyle (00)}$ imparem esse, quoties ${\textstyle 2}$ ad complexum ${\textstyle A}$, parem vero, quoties ${\textstyle 2}$ ad ${\textstyle C}$ pertineat. Sed habemus

$$16(00)=aa+bb-6a-11$$

sive statuendo ${\textstyle a=4q+1}$, ${\textstyle b=4r}$ (v. art. 14),

$$(00)=qq-q+rr-1$$

Quoniam igitur ${\textstyle qq-q}$ manifesto semper par est, ${\textstyle (00)}$ impar erit vel par, prout ${\textstyle r}$ par est vel impar, adeoque ${\textstyle 2}$ vel ad ${\textstyle A}$ vel ad ${\textstyle C}$ pertinebit, prout ${\textstyle b}$ est vel formae ${\textstyle 8m}$ vel formae ${\textstyle 8m+4}$. Quod est ipsum theorema, in art. 14 per inductionem inventum.

II. Sed etiam casum alterum, ubi ${\textstyle p}$ est formae ${\textstyle 8n+5}$, aeque complete absolvere licet. Numerus ${\textstyle 2}$ hic vel ad ${\textstyle B}$, vel ad ${\textstyle D}$ pertinet, perspiciturque facile, in casu priori ${\textstyle {\frac {1}{2}}(p-1)}$ ad ${\textstyle B,{\frac {1}{2}}(p+1)}$ ad ${\textstyle D}$, in casu posteriori autem ${\textstyle {\frac {1}{2}}(p-1)}$ ad ${\textstyle D}$, ${\textstyle {\frac {1}{2}}(p+1)}$ ad ${\textstyle B}$ pertinere. Iam perpendamus, si ${\textstyle \beta }$ sit numerus ex ${\textstyle B}$ talis, quem sequatur numerus ex ${\textstyle D}$, fore etiam numerum ${\textstyle p-\beta -1}$ ex ${\textstyle B}$ atque ${\textstyle p-\beta }$ ex ${\textstyle D}$, i.e. numeros illius proprietatis binos associatos semper adesse. Erit itaque illorum multitudo, ${\textstyle (13)}$, par, excepto casu, in quo unus eorum sibi ipse associatus est, i.e. ubi ${\textstyle {\frac {1}{2}}(p-1)}$ ad ${\textstyle B}$, ${\textstyle {\frac {1}{2}}(p+1)}$ ad ${\textstyle D}$ pertinet; tunc scilicet ${\textstyle (13)}$ impar erit. Hinc colligimus, ${\textstyle (13)}$ parem esse, quoties ${\textstyle 2}$ ad ${\textstyle D}$, imparem vero, quoties ${\textstyle 2}$ ad ${\textstyle B}$ pertineat. Sed habemus

$$16(13)=aa+bb+2a+4b+1$$