Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/92

$$=ik+lm+km+mm$$

Ad eundem valorem perducimur, si evolutionem considerationi valorum summae ${\textstyle 1+\gamma }$ superstruimus.

18.

Ex hac duplici eiusdem multitudinis expressione nanciscimur aequationem:

$$0=hm+ii+kl-ik-km-mm$$

atque hinc, eliminando ${\textstyle h}$ adiumento aequationis ${\textstyle h=2m-k-1}$,

$$0=(k-m)^{2}+ii+kl-ik-kk-m$$

Sed duae aequationes ultimae art. 16 suppeditant ${\textstyle k={\frac {1}{2}}(l+i)}$, quo valore substituto ${\textstyle ii+kl-ik-kk}$ transit in ${\textstyle {\frac {1}{4}}(l-i)^{2}}$, adeoque aequatio praecedens, per 4 multiplicata, in hanc

$$0=4(k-m)^{2}+(l-i)^{2}-4m$$

Hinc, quoniam ${\textstyle 4m=2(k+m)-2(k-m)=2n-2(k-m)}$, sequitur

$$2n=4(k-m)^{2}+2(k-m)+(l-i)^{2}$$

sive

$$8n+1=(4(k-m)+1)^{2}+4(l-i)^{2}$$

Statuendo itaque

$$4(k-m)+1=a,\quad 2l-2i=b$$

habebimus

$$p=aa+bb$$

Sed constat, ${\textstyle p}$ unico tantum modo in duo quadrata discerpi posse, quorum alterum impar accipi debet pro ${\textstyle aa}$, alterum par pro ${\textstyle bb}$, ita ut ${\textstyle aa}$, ${\textstyle bb}$ sint numeri ex asse determinati. Sed etiam ${\textstyle a}$ ipse erit numerus prorsus determinatus; radix enim quadrati positive accipi debet, vel negative, prout radix positiva est formae ${\textstyle 4M+1}$ vel ${\textstyle 4M+3}$. De determinatione signi ipsius ${\textstyle b}$ mox loquemur.

Iam combinatis his novis aequationibus cum tribus ultimis art. 16, quinque numeri ${\textstyle h}$, ${\textstyle i}$, ${\textstyle k}$, ${\textstyle l}$, ${\textstyle m}$ per ${\textstyle a}$, ${\textstyle b}$ et ${\textstyle n}$ penitus determinantur sequenti modo: