Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/81

${\textstyle a}$ est residuum biquadraticum ipsius ${\textstyle p}$, puta ${\textstyle \equiv \alpha ^{4}}$, quatuor radices congruentiae ${\textstyle x^{4}\equiv a}$ erunt ${\textstyle \alpha }$, ${\textstyle f\alpha }$, ${\textstyle -\alpha }$, ${\textstyle -f\alpha }$, quas inter se incongruas esse facile perspicitur. Hinc patet, si colligantur residua minima positiva biquadratorum ${\textstyle 1}$, ${\textstyle 16}$, ${\textstyle 81}$, ${\textstyle 256\ldots (p-1)^{4}}$, quaterna semper aequalia fore, ita ut ${\textstyle {\frac {1}{4}}(p-1)}$ residua biquadratica diversa habeantur complexum ${\textstyle A}$ formantia. Si residua minima biquadratorum usque ad ${\textstyle ({\frac {1}{2}}p-{\frac {1}{2}})^{4}}$ tantum colliguntur, singula bis aderunt.

7.

Productum duorum residuorum biquadraticorum manifesto est residuum biquadraticum, sive e multiplicatione duorum numerorum classis ${\textstyle A}$ semper prodit productum, cuius residuum minimum positivum ad eandem classem pertinet. Perinde producta numeri ex ${\textstyle B}$ in numerum ex ${\textstyle D}$, vel numeri ex ${\textstyle C}$ in numerum ex ${\textstyle C}$, habebunt residua sua minima in ${\textstyle A}$.

In ${\textstyle B}$ autem cadent residua productorum ${\textstyle A.B}$ et ${\textstyle C.D}$; in ${\textstyle C}$ residua productorum ${\textstyle A.C}$, ${\textstyle B.B}$ et ${\textstyle D.D}$; denique in ${\textstyle D}$ residua productorum ${\textstyle A.D}$ et ${\textstyle B.C}$.

Demonstrationes tam obviae sunt, ut sufficiat, unam indicavisse. Sint e.g. ${\textstyle c}$ et ${\textstyle d}$ numeri ex ${\textstyle C}$ et ${\textstyle D}$, atque ${\textstyle c\equiv eea}$, ${\textstyle d\equiv e^{3}a^{\prime }}$, denotantibus ${\textstyle a}$, ${\textstyle a^{\prime }}$ numeros ex ${\textstyle A}$. Tunc ${\textstyle e^{4}aa^{\prime }}$ erit residuum biquadraticum, i.e. ipsius residuum minimum ad ${\textstyle A}$ referetur: quare quum productum ${\textstyle cd}$ fiat ${\textstyle \equiv e.e^{4}aa^{\prime }}$, illius residuum minimum in ${\textstyle B}$ contentum erit.

Simul facile iam diiudicari potest, ad quamnam classem referendum sit productum e pluribus factoribus. Scilicet tribuendo classi ${\textstyle A}$, ${\textstyle B}$, ${\textstyle C}$, ${\textstyle D}$ resp. characterem ${\textstyle 0}$, ${\textstyle 1}$, ${\textstyle 2}$, ${\textstyle 3}$, character producti vel aggregato characterum singulorum factorum aequalis erit, vel eius residuo minimo secundum modulum 4.

8.

Operae pretium visum est, hasce propositiones elementares absque adminiculo theoriae residuorum potestatum evolvere, qua in auxilium vocata omnia adhuc multo facilius demonstrare licet.

Sit ${\textstyle g}$ radix primitiva pro modulo ${\textstyle p}$, i.e. numerus talis, ut in serie potestatum ${\textstyle g}$, ${\textstyle gg}$, ${\textstyle g^{3}\ldots }$ nulla ante hanc ${\textstyle g^{p-1}}$ unitati secundum modulum ${\textstyle p}$ congrua evadat. Tunc residua minima positiva numerorum ${\textstyle 1}$, ${\textstyle g}$, ${\textstyle gg}$, ${\textstyle g^{3}\ldots g^{p-2}}$ praeter ordinem cum his ${\textstyle 1}$, ${\textstyle 2}$, ${\textstyle 3\ldots p-1}$ convenient, et in quatuor classes sequenti modo distribuentur: