Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/80

II. Perinde supponendo, aliquem numerum complexibus ${\textstyle B}$, ${\textstyle D}$ communem esse, atque e productis ${\textstyle ea}$, ${\textstyle e^{3}a^{\prime }}$ prodiisse, existentibus ${\textstyle a}$, ${\textstyle a^{\prime }}$ numeris e complexu ${\textstyle A}$, e congruentia ${\textstyle ea\equiv e^{3}a^{\prime }}$ sequeretur ${\textstyle a\equiv eea^{\prime }}$, adeoque haberetur numerus, qui e producto ${\textstyle eea^{\prime }}$ oriundus ad ${\textstyle C}$ simulque ad ${\textstyle A}$ pertineret, quod impossibile esse modo demonstravimus.

Porro facile demonstratur, omnia residua quadratica ipsius ${\textstyle p}$, inter 1 et ${\textstyle p-1}$ incl. sita, necessario vel in ${\textstyle A}$ vel in ${\textstyle C}$, omniaque non-residua quadratica ipsius ${\textstyle p}$ inter illos limites necessario vel in ${\textstyle B}$ vel in ${\textstyle D}$ occurrere debere. Nam

I. Omne tale residuum quadraticum, quod simul est residuum biquadraticum, per hyp. in ${\textstyle A}$ invenitur.

II. Residuum quadraticum ${\textstyle h}$ (ipso ${\textstyle p}$ minus), quod simul est non-residuum biquadraticum, statuatur ${\textstyle \equiv gg}$, ubi ${\textstyle g}$ erit non-residuum quadraticum. Accipiatur integer ${\textstyle \gamma }$ talis, ut fiat ${\textstyle e\gamma \equiv g}$, eritque ${\textstyle \gamma }$ residuum quadraticum ipsius ${\textstyle p}$, quod statuemus ${\textstyle \equiv kk}$. Hinc erit

$$h\equiv gg\equiv ee\gamma \gamma \equiv eek^{4}$$

Quare quum residuum minimum ipsius ${\textstyle k^{4}}$ inveniatur in ${\textstyle A}$, numerus ${\textstyle h}$, quippe qui ex illius producto per ${\textstyle ee}$ oritur, necessario in ${\textstyle C}$ contentus erit.

III. Designante ${\textstyle h}$ non-residuum quadraticum ipsius ${\textstyle p}$ inter limites 1 et ${\textstyle p-1}$, eruatur inter eosdem limites numerus integer ${\textstyle g}$ talis, ut habeatur ${\textstyle eg\equiv h}$. Erit itaque ${\textstyle g}$ residum quadraticum, et proin vel in ${\textstyle A}$ vel in ${\textstyle C}$ contentus: in casu priori ${\textstyle h}$ manifesto inter numeros ${\textstyle B}$, in posteriori autem inter numeros ${\textstyle D}$ invenietur.

Ex his omnibus colligitur, cunctos numeros ${\textstyle 1}$, ${\textstyle 2}$, ${\textstyle 3\ldots p-1}$ inter quatuor series ${\textstyle A}$, ${\textstyle B}$, ${\textstyle C}$, ${\textstyle D}$ ita distribui, ut quivis illorum in una harum reperiatur, unde singulae series ${\textstyle {\frac {1}{4}}(p-1)}$ numeros continere debent. In hac classificatione classes ${\textstyle A}$ et ${\textstyle C}$ quidem numeros suos essentialiter possident, sed distinctio inter classes ${\textstyle B}$ et ${\textstyle D}$ eatenus arbitraria est, quatenus ab electione numeri ${\textstyle e}$ pendet, qui ipse semper ad ${\textstyle B}$ referendus est; quapropter si eius loco alius e classe ${\textstyle D}$ adoptatur, classes ${\textstyle B}$, ${\textstyle D}$ inter se permutabuntur.

6.

Quum ${\textstyle -1}$ sit residuum quadraticum ipsius ${\textstyle p}$, statuamus, ${\textstyle -1\equiv ff{\pmod {p}}}$, unde quatuor radices congruentiae ${\textstyle x^{4}\equiv 1}$ erunt ${\textstyle 1}$, ${\textstyle f}$, ${\textstyle -1}$, ${\textstyle -f}$. Quodsi itaque