Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/79

residuo quadratico ipsius ${\textstyle p}$, si congruentiae ${\textstyle x^{4}\equiv a}$ satisfieri posset, per valorem ${\textstyle x\equiv c}$, foret ${\textstyle c^{4}\equiv bb}$, sive productum ${\textstyle (cc-b)(cc+b)}$ per ${\textstyle p}$ divisibile, unde ${\textstyle p}$ vel factorem ${\textstyle cc-b}$ vel alterum ${\textstyle cc+b}$ metiri deberet, i.e. vel ${\textstyle +b}$ vel ${\textstyle -b}$ foret residuum quadraticum ipsius ${\textstyle p}$, et proin uterque (quoniam ${\textstyle -1}$ est residuum quadraticum), contra hyp.

Omnes itaque numeri integri per ${\textstyle p}$ non divisibiles in tres classes distribui possent, quarum prima contineat residua biquadratica, secunda non-residua biquadratica ea, quae simul sunt residua quadratica, tertia non-residua quadratica. Manifesto sufficit, tali classificationi solos numeros ${\textstyle 1}$, ${\textstyle 2}$, ${\textstyle 3\ldots p-1}$ subiicere, quorum semissis ad classem tertiam reduceretur, dum altera semissis inter classem primam et secundam distribueretur.

5.

Sed praestabit, quatuor classes stabilire, quarum indoles ita se habeat.

Sit ${\textstyle A}$ complexus omnium residuorum biquadraticorum ipsius ${\textstyle p}$, inter ${\textstyle 1}$ et ${\textstyle p-1}$ (inclus.) sitorum, atque ${\textstyle e}$ non-residuum quadraticum ipsius ${\textstyle p}$ ad arbitrium electum. Sit porro ${\textstyle B}$ complexus residuorum minimorum positivorum e productis ${\textstyle eA}$ secundum modulum ${\textstyle p}$ oriundorum, et perinde ${\textstyle C}$, ${\textstyle D}$ resp. complexus residuorum minimorum positivorum e productis ${\textstyle eeA}$, ${\textstyle e^{3}A}$ secundum modulum ${\textstyle p}$ prodeuntium. His ita factis facile perspicitur, singulos numeros ${\textstyle B}$ inter se diversos fore, et perinde singulos ${\textstyle C}$, nec non singulos ${\textstyle D}$; cifram autem inter omnes hos numeros occurrere non posse. Porro patet, omnes numeros, in ${\textstyle A}$ et ${\textstyle C}$ contentos, esse residua quadratica ipsius ${\textstyle p}$, omnes autem in ${\textstyle B}$ et ${\textstyle D}$ non-residua quadratica, ita ut certe complexus ${\textstyle A}$, ${\textstyle C}$ nullum numerum cum complexu ${\textstyle B}$ vel ${\textstyle D}$ communem habere possint. Sed etiam neque ${\textstyle A}$ cum ${\textstyle C}$, neque ${\textstyle B}$ cum ${\textstyle D}$ ullum numerum communem habere potest. Supponamus enim

I. numerum aliquem ex ${\textstyle A}$, e.g. ${\textstyle a}$ etiam in ${\textstyle C}$ inveniri, ubi prodierit e producto ${\textstyle eea^{\prime }}$ ipsi congruo, existente ${\textstyle a^{\prime }}$ numero e complexu ${\textstyle A}$. Statuatur ${\textstyle a\equiv \alpha ^{4}}$, ${\textstyle a^{\prime }\equiv \alpha ^{\prime 4}}$, accipiaturque integer ${\textstyle \Theta }$ ita, ut fiat ${\textstyle \Theta \alpha ^{\prime }\equiv 1}$. His ita factis erit ${\textstyle ee\alpha ^{\prime 4}\equiv \alpha ^{4}}$, adeoque multiplicando per ${\textstyle \Theta ^{4}}$,

$$ee\equiv \alpha ^{4}\Theta ^{4}$$

i.e. ${\textstyle ee}$ residuum biquadraticum, adeoque ${\textstyle e}$ residuum quadraticum, contra hyp.