Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/78

tatione disquisitiones eas explicabimus, quas iam cis campum Arithmeticae ampliatum absolvere licuit, quae illuc viam quasi sternunt, simulque theoriae divisionis circuli quaedam nova incrementa adiungunt.

2.

Notionem residui biquadratici in Disquisitionibus Arithmeticis art. 115 introduximus: scilicet numerus integer ${\textstyle a}$, positivus seu negativus, integri ${\textstyle p}$ residuum biquadraticum vocatur, si ${\textstyle a}$ secundum modulum ${\textstyle p}$ biquadrato congruus fieri potest, et perinde non-residuum biquadraticum, si talis congruentia non exstat. In omnibus disquisitionibus sequentibus, ubi contrarium expressis verbis non monetur, modulum ${\textstyle p}$ esse numerum primum (imparem positivum) supponemus, atque ${\textstyle a}$ per ${\textstyle p}$ non divisibilem, quum omnes casus reliqui ad hunc facillime reduci possint.

3.

Manifestum est, omne residuum biquadraticum numeri ${\textstyle p}$ eiusdem quoque residuum quadraticum esse, et proin omne non-residuum quadraticum etiam nonresiduum biquadraticum. Hanc propositionem etiam convertere licet, quoties ${\textstyle p}$ est numerus primus formae ${\textstyle 4n+3}$. Nam si in hoc casu ${\textstyle a}$ est residuum quadraticum ipsius ${\textstyle p}$, statuamus ${\textstyle a\equiv bb{\pmod {p}}}$, ubi ${\textstyle b}$ vel residuum quadraticum ipsius ${\textstyle p}$ erit vel non-residuum: in casu priori statuemus ${\textstyle b\equiv cc}$, unde ${\textstyle a\equiv c^{4}}$, i.e. ${\textstyle a}$ erit residuum biquadraticum ipsius ${\textstyle p}$; in casu posteriori ${\textstyle -b}$ fiet residuum quadraticum ipsius ${\textstyle p}$ (quoniam ${\textstyle -1}$ est non-residuum cuiusvis numeri primi formae ${\textstyle 4n+3)}$, faciendoque ${\textstyle -b\equiv cc}$, erit ut antea ${\textstyle a\equiv c^{4}}$, atque ${\textstyle a}$ residuum biquadraticum ipsius ${\textstyle p}$. Simul facile perspicietur, alias solutiones congruentiae ${\textstyle x^{4}\equiv a{\pmod {p}}}$, praeter has duas ${\textstyle x\equiv c}$ et ${\textstyle x\equiv -c}$ in hoc casu non dari. Quum hae propositiones obviae integram residuorum biquadraticorum theoriam pro modulis primis formae ${\textstyle 4n+3}$ exhauriant, tales modulos a disquisitione nostra omnino excludemus, sive hanc ad modulos primos formae ${\textstyle 4n+1}$ limitabimus.

4.

Existente itaque ${\textstyle p}$ numero primo formae ${\textstyle 4n+1}$, propositionem art. praec. convertere non licet: nempe exstare possunt residua quadratica, quae non sunt simul residua biquadratica, quod evenit, quoties residuum quadraticum congruum est quadrato non-residui quadratici. Statuendo enim ${\textstyle a\equiv bb}$, existente ${\textstyle b}$ non--