Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/73

lore aggregati ${\textstyle \varphi (a,2b)}$. Scilicet prout hoc aggregatum est numerus par vel impar, erit ${\textstyle b}$ residuum quadraticum ipsius ${\textstyle a}$ vel non-residuum. Ad eundem vero finem ipsum quoque aggregatum ${\textstyle \varphi (a,b)}$ adhiberi poterit, ea tamen restrictione, ut casus ubi ${\textstyle b}$ impar est ab eo ubi par est distinguatur. Scilicet

I. Quoties ${\textstyle b}$ est impar, erit ${\textstyle b}$ residuum vel non-residuum quadraticum ipsius ${\textstyle a}$, prout ${\textstyle \varphi (a,b)}$ par est vel impar.

II. Quoties ${\textstyle b}$ est par, eadem regula valebit, si insuper ${\textstyle a}$ est vel formae ${\textstyle 8n+1}$ vel formae ${\textstyle 8n+7}$; si vero pro valore pari ipsius ${\textstyle b}$ modulus ${\textstyle a}$ est vel formae ${\textstyle 8n+3}$ vel formae ${\textstyle 8n+5}$, regula opposita applicanda erit, puta, ${\textstyle b}$ erit residuum quadraticum ipsius ${\textstyle a}$, si ${\textstyle \varphi (a,b)}$ est impar, non-residuum vero, si ${\textstyle \varphi (a,b)}$ est par.

Haec omnia ex art. 4 demonstrationis tertiae facillime derivantur.

5.

Exemplum. Si quaeritur relatio numeri ${\textstyle 103}$ ad numerum primum ${\textstyle 379}$, habemus, ad eruendum aggregatum ${\textstyle \varphi (379,103)}$,

$${\begin{array}{r|r|r}a=379&a^{\prime }=189&\\b=103&b^{\prime }={\phantom {0}}51&\beta =3\\c={\phantom {0}}70&c^{\prime }={\phantom {0}}35&\gamma =1\\d={\phantom {0}}33&d^{\prime }={\phantom {0}}16&\delta =2\\e={\phantom {00}}4&e^{\prime }={\phantom {00}}2&\varepsilon =8\end{array}}$$

hinc

$$\varphi (379,103)=9639-1785+560-32-3978+630-272+24=4786$$

unde ${\textstyle 103}$ erit residuum quadraticum numeri ${\textstyle 379}$. Si ad eundem finem aggregatum ${\textstyle (379,206)}$ adhibere malumus, habemus hocce paradigma:

$${\begin{array}{r|r|r}379&189&\\206&103&1\\173&86&1\\33&16&5\\8&4&4\end{array}}$$

unde deducimus