Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/71

6. Numerus ${\textstyle 5}$ est non-residuum quadraticum numeri ${\textstyle 103}$ (theor. fund. et 5).

7. Numerus ${\textstyle 2}$ est non-residuum quadraticum numeri ${\textstyle 5}$ (theor. III).

8. Numerus ${\textstyle 7}$ est non-residuum quadraticum numeri ${\textstyle 5}$ ( I et 7 ).

9. Numerus ${\textstyle 5}$ est non-residuum quadraticum numeri ${\textstyle 7}$ (theor. fund. et 8).

10. Numerus ${\textstyle 103}$ est non-residuum quadraticum numeri ${\textstyle 7}$ (I et 9 ).

11. Numerus ${\textstyle 7}$ est residuum quadraticum numeri ${\textstyle 103}$ (theor. fund. et 10).

12. Numerus ${\textstyle 70}$ est non-residuum quadraticum numeri ${\textstyle 103}$ (II, 1, 6, 11).

13. Numerus ${\textstyle 379}$ est non-residuum quadraticum numeri ${\textstyle 103}$ (I et 12).

14. Numerus ${\textstyle 103}$ est residuum quadraticum numeri ${\textstyle 379}$ (theor. fund. et 13).
In sequentibus brevitatis caussa utemur signo in Comment. Gotting. Vol. XVI introducto. Scilicet per ${\textstyle [x]}$ denotabimus quantitatem ${\textstyle x}$ ipsam, quoties ${\textstyle x}$ est integer, sive integrum proxime minorem quam ${\textstyle x}$, quoties ${\textstyle x}$ est quantitas fracta, ita ut ${\textstyle x-[x]}$ semper fiat quantitas non negativa unitate minor.

3.

Problema. Denotantibus ${\textstyle a}$, ${\textstyle b}$ integros positivos inter se primos, et posito ${\textstyle \left[{\frac {1}{2}}a\right]=a^{\prime }}$, invenire aggregatum

$$\left[{\frac {b}{a}}\right]+\left[{\frac {2b}{a}}\right]+\left[{\frac {3b}{a}}\right]+\left[{\frac {4b}{a}}\right]+{\text{etc.}}+\left[{\frac {a^{\prime }b}{a}}\right]$$

Sol. Designemus brevitatis caussa huiusmodi aggregatum per ${\textstyle \varphi (a,b)}$, ita ut etiam fiat

$$\varphi (b,a)=\left[{\frac {a}{b}}\right]+\left[{\frac {2a}{b}}\right]+\left[{\frac {3a}{b}}\right]+{\text{etc.}}+\left[{\frac {b^{\prime }a}{b}}\right]$$

si statuimus ${\textstyle \left[{\frac {1}{2}}b\right]=b^{\prime }}$. In demonstratione tertia theorematis fundamentalis ostensum est, pro casu eo, ubi ${\textstyle a}$ et ${\textstyle b}$ sunt impares, fieri

$$\varphi (a,b)+\varphi (b,a)=a^{\prime }b^{\prime }$$

facileque eandem methodum sequendo veritas huius propositionis ad eum quoque casum extenditur, ubi alteruter numerorum ${\textstyle a}$, ${\textstyle b}$ est impar, uti illic iam addigitavimus. Dividatur, ad instar methodi, per quam duorum integrorum divisor communis maximus investigatur, ${\textstyle a}$ per ${\textstyle b}$, sitque ${\textstyle \beta }$ quotiens atque ${\textstyle c}$ residuum; dein dividatur ${\textstyle b}$ per ${\textstyle c}$ et sic porro, ita ut habeantur aequationes