Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/70

Proposito itaque numero ${\textstyle a}$, cuius relatio ad numerum primum ${\textstyle b}$ quaeritur: pro ${\textstyle a}$, si maior est quam ${\textstyle b}$, ante omnia substituetur eius residuum minimum positivum secundum modulum ${\textstyle b}$, quo residuo in factores suos primos resoluto, quaestio per theorema II reducta est ad inventionem relationis singulorum horum factorum ad ${\textstyle b}$. Relatio factoris ${\textstyle 2}$, (siquidem adest vel semel, vel ter, vel quinquies etc.) innotescit per theorema III; relatio reliquorum, per theorema fundamentale, pendet a relatione ipsius ${\textstyle b}$ ad singulos. Hoc itaque modo loco unius relationis numeri dati ad numerum primum ${\textstyle b}$ iam investigandae sunt aliquae relationes numeri ${\textstyle b}$ ad alios primos impares ipso ${\textstyle b}$ minores, quae problemata eodem modo ad minores modulos deprimentur, manifestoque hae depressiones successivae tandem exhaustae erunt.

2.

Ut exemplo haec solutio illustretur, quaerenda sit relatio numeri ${\textstyle 103}$ ad ${\textstyle 379}$. Quum ${\textstyle 103}$ iam sit minor quam ${\textstyle 379}$, atque ipse numerus primus, protinus applicandum erit theorema fundamentale, quod docet, relationem quaesitam oppositam esse relationi numeri ${\textstyle 379}$ ad ${\textstyle 103}$. Haec iterum aequalis est relationi numeri ${\textstyle 70}$ ad ${\textstyle 103}$, quae ipsa pendet a relationibus numerorum ${\textstyle 2}$, ${\textstyle 5}$, ${\textstyle 7}$ ad ${\textstyle 103}$. Prima harum relationum e theoremate III innotescit. Secunda per theorema fundamentale pendet a relatione numeri ${\textstyle 103}$ ad ${\textstyle 5}$, cui per theorema I aequalis est relatio numeri ${\textstyle 3}$ ad ${\textstyle 5}$; haec iterum per theorema fundamentale pendet a relatione numeri ${\textstyle 5}$ ad ${\textstyle 3}$, cui per theorema I aequalis est relatio numeri ${\textstyle 2}$ ad ${\textstyle 3}$, per theorema III nota. Perinde relatio numeri ${\textstyle 7}$ ad ${\textstyle 103}$ per theorema fundamentale a relatione numeri ${\textstyle 103}$ ad ${\textstyle 7}$ pendet, quae per theorema I aequalis est relationi numeri ${\textstyle 5}$ ad ${\textstyle 7}$; haec iterum per theorema fundamentale pendet a relatione numeri ${\textstyle 7}$ ad ${\textstyle 5}$, cui aequalis est per theorema I relatio numeri ${\textstyle 2}$ ad ${\textstyle 5}$ per theorema III nota. Quodsi iam hanc analysin in synthesin transmutare placet, quaestionis decisio ad quatuordecim momenta referetur, quae complete hic apponimus, ut maior concinnitas solutionis novae eo clarius elucescat.

1. Numerus ${\textstyle 2}$ est residuum quadraticum numeri ${\textstyle 103}$ (theor. III).

2. Numerus ${\textstyle 2}$ est non-residuum quadraticum numeri ${\textstyle 3}$ (theor. III).

3. Numerus ${\textstyle 5}$ est non-residuum quadraticum numeri ${\textstyle 3}$ (ex I et 2).

4. Numerus ${\textstyle 3}$ est non-residuum quadraticum numeri ${\textstyle 5}$ (theor. fund. et 3).

5. Numerus ${\textstyle 103}$ est non-residuum quadraticum numeri ${\textstyle 5}$ (I et 4).