Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/69

Haec pagina emendata est

lis erit.

Quodsi iam per ${\textstyle \beta }$ designatur unitas positive vel negative accepta, prout ${\textstyle p}$ est residuum vel non-residuum quadraticum numeri ${\textstyle q}$ , erit ${\textstyle p^{{\frac {1}{2}}(q-1)}-\beta }$ per ${\textstyle q}$ divisibilis, adeoque etiam ${\textstyle \beta -\gamma \delta }$ , quod fieri nequit, nisi fuerit ${\textstyle \beta =\gamma \delta }$ . Hinc vero theorema fundamentale sponte sequitur. Scilicet

I. Quoties vel uterque ${\textstyle p}$ , ${\textstyle q}$ , vel alteruter tantum est formae ${\textstyle 4k+1}$ , adeoque ${\textstyle \delta =+1}$ , erit ${\textstyle \beta =\gamma }$ , et proin vel simul ${\textstyle q}$ residuum quadraticum ipsius ${\textstyle p}$ , atque ${\textstyle p}$ residuum quadraticum ipsius ${\textstyle q}$ ; vel simul ${\textstyle q}$ non-residuum ipsius ${\textstyle p}$ , atque ${\textstyle p}$ non-residuum ipsius ${\textstyle q}$ .

II. Quoties uterque ${\textstyle p}$ , ${\textstyle q}$ est formae ${\textstyle 4k+3}$ , adeoque ${\textstyle \delta =-1}$ , erit ${\textstyle \beta =-\gamma }$ , adeoque vel simul ${\textstyle q}$ residuum quadraticum ipsius ${\textstyle p}$ , atque ${\textstyle p}$ non-residuum ipsius ${\textstyle q}$ ; vel simul ${\textstyle q}$ non-residuum ipsius ${\textstyle p}$ , atque ${\textstyle p}$ residuum ipsius ${\textstyle q}$ . Q. E. D.

Algorithmus novus ad decidendum, utrum numerus integer positivus datus numeri primi positivi dati residuum quadraticum sit an non-residuum.

1.

Antequam solutionem novam huius problematis exponamus, solutionem in Disquisitionibus Arithmeticis traditam hic breviter repetemus, quae satis quidem expedite perficitur adiumento theorematis fundamentalis atque theorematum notorum sequentium:

I. Relatio numeri ${\textstyle a}$ ad numerum ${\textstyle b}$ (quatenus ille huius residuum quadraticum est sive non-residuum), eadem est quae numeri ${\textstyle c}$ ad ${\textstyle b}$ , si ${\textstyle a\equiv c{\pmod {b}}}$ .

II. Si ${\textstyle a}$ est productum e factoribus ${\textstyle \alpha }$ , ${\textstyle \beta }$ , ${\textstyle \gamma }$ , ${\textstyle \delta }$ etc., atque ${\textstyle b}$ numerus primus, relatio ipsius ${\textstyle a}$ ad ${\textstyle b}$ ita a relatione horum factorum ad ${\textstyle b}$ pendebit, ut ${\textstyle a}$ fiat residuum quadraticum ipsius ${\textstyle b}$ vel non-residuum, prout inter illos factores reperitur multitudo par vel impar talium, qui sint non-residua ipsius b. Quoties itaque aliquis factor est quadratum, ad eum in hoc examine omnino non erit respiciendum; si quis vero factor est potestas integri cum exponente impari, illius vice ipse hic integer fungi poterit.

III. Numerus 2 est residuum quadraticum cuiusvis numeri primi formae ${\textstyle 8m+1}$ vel ${\textstyle 8m+7}$ , non-residuum vero cuiusvis numeri primi formae ${\textstyle 8m+3}$ vel ${\textstyle 8m+5}$ .