Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/63

II. Numeri secundum modulos ${\textstyle m}$, ${\textstyle M}$ resp. numeris ex ${\textstyle f}$, ${\textstyle F^{\prime }}$ congrui, quorum multitudinem statuemus ${\textstyle =\beta }$.

III. Numeri secundum modulos ${\textstyle m}$, ${\textstyle M}$ resp. numeris ex ${\textstyle f^{\prime }}$, ${\textstyle F}$ congrui, quorum multitudinem statuemus ${\textstyle =\gamma }$.

IV. Numeri secundum modulos ${\textstyle m}$, ${\textstyle M}$ resp. numeris ex ${\textstyle f^{\prime }}$, ${\textstyle F^{\prime }}$ congrui, quorum multitudo sit ${\textstyle =\delta }$.

V. Numeri per ${\textstyle m}$ divisibiles, secundum modulum ${\textstyle M}$ vero residuis ex ${\textstyle F}$ congrui.

VI. Numeri per ${\textstyle m}$ divisibiles, secundum modulum ${\textstyle M}$ vero residuis ex ${\textstyle F^{\prime }}$ congrui.

VII. Numeri per ${\textstyle M}$ divisibiles, secundum modulum ${\textstyle m}$ autem residuis ex ${\textstyle f}$ congrui.

VIII. Numeri per ${\textstyle M}$ divisibiles, secundum modulum ${\textstyle m}$ vero residuis ex ${\textstyle f^{\prime }}$ congrui.

Manifesto classes V et VI simul sumtae complectentur omnes numeros ${\textstyle mF}$, multitudo numerorum in VI contentorum erit ${\textstyle =N}$, adeoque multitudo numerorum in V contentorum erit ${\textstyle {\frac {1}{2}}(M-1)-N}$. Perinde classes VII et VIII simul sumtae continebunt omnes numeros ${\textstyle Mf}$, in classe VIII reperientur ${\textstyle n}$ numeri, in classe VII autem ${\textstyle {\frac {1}{2}}(m-1)-n}$.

Prorsus simili modo omnes numeri ${\textstyle \varphi ^{\prime }}$ in octo classes IX - XVI distribuentur, in quo negotio si eundem ordinem servamus, facile perspicietur, numeros in classibus

IX, X, XI, XII, XIII, XIV, XV, XVI

contentos resp. esse complementa numerorum in classibus

IV, III, II, I, VI, V, VIII, VII

contentorum ad ${\textstyle mM}$, ita ut in classe IX reperiantur ${\textstyle \delta }$ numeri; in classe X, ${\textstyle \gamma }$ et sic porro. Iam patet, si omnes numeri primae classis associentur cum omnibus numeris classis nonae, haberi omnes numeros infra ${\textstyle mM}$, qui secundum modulum ${\textstyle m}$ alicui numero ex ${\textstyle f}$, secundum modulum ${\textstyle M}$ vero alicui numero ex ${\textstyle F}$ sunt congrui, quorumque multitudinem aequalem esse multitudini omnium combinationum singulorum ${\textstyle f}$ cum singulis ${\textstyle F}$, facile perspicitur. Habemus itaque

$$\alpha +\delta ={\frac {1}{4}}(m-1)(M-1)$$