Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/62

2.

Theorema. Sint ${\textstyle m}$, ${\textstyle M}$ integri positivi impares inter se primi, ${\textstyle n}$ multitudo eorum e residuis minimis positivis numerorum

$$M,2M,3M\ldots {\frac {1}{2}}(m-1)M$$

secundum modulum ${\textstyle m}$, quae sunt maiora quam ${\textstyle {\frac {1}{2}}m}$; ac perinde ${\textstyle N}$ multitudo eorum e residuis minimis positivis numerorum

$$m,2m,3m\ldots {\frac {1}{2}}(M-1)m$$

secundum modulum ${\textstyle M}$, quae sunt maiora quam ${\textstyle {\frac {1}{2}}M}$. Tunc tres numeri ${\textstyle n,N}$, ${\textstyle {\frac {1}{4}}(m-1)(M-1)}$ vel omnes simul pares erunt. vel unus par duoque reliqui impares.

Demonstr. Designemus

$${\begin{array}{l}{\text{per }}f{\text{ complexum numerorum }}1,2,3\ldots {\frac {1}{2}}(m-1)\\{\text{per }}f^{\prime }{\text{ complexum numerorum }}m-1,m-2,m-3\ldots {\frac {1}{2}}(m+1)\\{\text{per }}F{\text{ complexum numerorum }}1,2,3\ldots {\frac {1}{2}}({M}-1)\\{\text{per }}F^{\prime }{\text{ complexum numerorum }}M-1,M-2,M-3\ldots {\frac {1}{2}}(M+1)\\\end{array}}$$

Indicabit itaque ${\textstyle n}$, quot numeri ${\textstyle Mf}$ residua sua minima positiva secundum modulum ${\textstyle m}$ habeant in complexu ${\textstyle f^{\prime }}$, et perinde ${\textstyle N}$ indicabit, quot numeri ${\textstyle mF}$ habeant residua sua minima positiva secundum modulum ${\textstyle M}$ in complexu ${\textstyle F^{\prime }}$. Denique designet

$${\begin{aligned}&\varphi {\text{ complexum numerorum }}1,2,3\ldots {\frac {1}{2}}(mM-1)\\&\varphi ^{\prime }{\text{ complexum numerorum }}mM-1,mM-2,mM-3\ldots {\frac {1}{2}}(mM+1)\end{aligned}}$$

Quum quilibet integer per ${\textstyle m}$ non divisibilis secundum modulum ${\textstyle m}$ vel alicui residuo ex ${\textstyle f}$ vel alicui ex ${\textstyle f^{\prime }}$ congruus esse debeat, ac perinde quilibet integer per ${\textstyle M}$ non divisibilis secundum modulum ${\textstyle M}$ congruus sit vel alicui residuo ex ${\textstyle F}$ vel alicui ex ${\textstyle F^{\prime }}$: omnes numeri ${\textstyle \varphi }$, inter quos manifesto nullus per ${\textstyle m}$ et ${\textstyle M}$ simul divisibilis occurrit, in octo classes sequenti modo distribui possunt.

I. In prima classe erunt numeri secundum modulum ${\textstyle m}$ alicui numero ex ${\textstyle f}$, secundum modulum ${\textstyle M}$ vero alicui numero ex ${\textstyle F}$ congrui. Designabimus multitudinem horum numerorum per ${\textstyle \alpha }$.