Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/53

numerorum ${\textstyle a}$, ${\textstyle b}$, ${\textstyle c}$ etc. ad duos, patet, si unus tantum ex ipsis, vel neuter, sit formae ${\textstyle 4\mu +3}$, fieri debere vel simul ${\textstyle aRb}$, ${\textstyle bRa}$, vel simul ${\textstyle aNb}$, ${\textstyle bNa}$; contra si uterque est formae ${\textstyle 4\mu +3}$, unus ex ipsis alterius non-residuum esse debebit, atque hic illius residuum. En itaque demonstrationem quartam huius gravissimi theorematis, cuius demonstrationem primam et secundam in Disquisitionibus Arithmeticis, tertiam nuper in commentatione peculiari tradidimus (Commentt. T. XVI): duas alias principiis rursus omnino diversis innitentes in posterum exponemus. Summopere sane est mirandum, quod hocce venustissimum theorema, quod primo omnes conatus tam pertinaciter eluserat, tot postea viis toto coelo inter se distantibus adiri potuerit.

34.

Etiam theoremata reliqua, quae quasi supplementum ad theorema fundamentale efficiunt, scilicet per quae dignoscuntur numeri primi, quorum residua vel non-residua sunt ${\textstyle -1}$, ${\textstyle +2}$ et ${\textstyle -2}$, ex iisdem principiis derivari possunt. Incipiemus a residuo ${\textstyle +2}$.

Statuendo ${\textstyle n=8a}$, ita ut ${\textstyle a}$ sit numerus primus, atque ${\textstyle k=1}$, per methodum art. 28, ${\textstyle W}$ erit productum e duobus factoribus, quorum alter erit ${\textstyle +\surd a}$, vel ${\textstyle +i\surd a}$, si 8, vel quod idem est 2, est residuum quadraticum ipsius ${\textstyle a}$; contra ${\textstyle -\surd a}$ vel ${\textstyle -i\surd a}$, si 2 est non-residuum ipsius ${\textstyle a}$. Factor secundus autem est

$${\begin{aligned}&(1+i)\surd 8,{\text{ si }}a{\text{ est formae }}8\mu +1\\&(-1+i)\surd 8,{\text{ si }}a{\text{ est formae }}8\mu +3\\&(-1-i)\surd 8{\text{, si }}a{\text{ est formae }}8\mu +5\\&(1-i)\surd 8,{\text{ si }}a{\text{ est formae }}8\mu +7\end{aligned}}$$

Sed per art. 18 semper erit ${\textstyle W=(1+i)\surd n}$; dividendo hunc valorem per quatuor valores factoris secundi, patet, factorem primum fieri debere

$${\begin{aligned}&+\surd a,{\text{ si }}a{\text{ est formae }}\quad 8\mu +1\\&-i\surd a,{\text{ si }}a{\text{ est formae }}8\mu +3\\&-\surd a,{\text{ si }}a{\text{ est formae }}8\mu +5\\&+i\surd a,{\text{ si }}a{\text{ est formae }}8\mu +7\end{aligned}}$$

Hinc sponte sequitur, in casu primo et quarto 2 esse debere residuum ipsius ${\textstyle a}$, in casu secundo et tertio autem non-residuum.