Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/48

res ${\textstyle a}$, ${\textstyle b}$, ${\textstyle c}$ etc. tales, qui sint vel numeri primi inaequales, vel potestates numerorum primorum inaequalium, statuatur ${\textstyle r^{\frac {nn}{aa}}=A}$, ${\textstyle r^{\frac {nn}{bb}}=B}$, ${\textstyle r^{\frac {nn}{cc}}=C}$ etc., eruntque ${\textstyle A}$, ${\textstyle B}$, ${\textstyle C}$ etc. radices propriae aequationum ${\textstyle x^{a}-1=0}$, ${\textstyle x^{b}-1=0}$, ${\textstyle x^{c}-1=0}$ etc., atque ${\textstyle W}$ productum e factoribus

$${\begin{aligned}&1+A+A^{4}+A^{9}+{\text{etc.}}+A^{(u-1)^{2}}\\&1+B+B^{4}+B^{9}+{\text{etc.}}+B^{(b-1)^{2}}\\&1+C+C^{4}+C^{9}+{\text{etc.}}+C^{(c-1)^{2}}{\text{ etc.}}\end{aligned}}$$

Sed hi singuli factores per ea, quae in artt 20, 21, 23 docuimus, determinari poterunt, unde etiam valor producti innotescet. Regulas pro determinandis illis factoribus hic in unum obtutum collegisse haud inutile erit. Quum radix ${\textstyle A}$ fiat ${\textstyle ={\frac {kn}{a}}\cdot {\frac {360^{0}}{a}}}$, aggregatum ${\textstyle 1+A+A^{4}+A^{9}+{\text{etc.}}+A^{(a-1)^{2}}}$, quod per ${\textstyle L}$ denotabimus, perinde per numerum ${\textstyle {\frac {kn}{a}}}$ determinabitur, ut in disquisitione nostra generali ${\textstyle {W}}$ per ${\textstyle k}$. Duodecim iam casus sunt distinguendi.

I. Si ${\textstyle a}$ est numerus primus formae ${\textstyle 4\mu +1}$, puta ${\textstyle =p}$, vel potestas talis numeri primi cum exponente impari, simulque ${\textstyle {\frac {kn}{a}}}$ residuum quadraticum ipsius ${\textstyle p}$, erit ${\textstyle L=+\surd a}$.

II. Si manentibus reliquis ${\textstyle {\frac {kn}{a}}}$ est non-residuum quadraticum ipsius ${\textstyle p}$, erit ${\textstyle L=-\surd a}$.

III. Si ${\textstyle a}$ est numerus primus formae ${\textstyle 4\mu +3}$, puta ${\textstyle =p}$, vel potestas talis numeri primi cum exponente impari, simulque ${\textstyle {\frac {kn}{a}}}$ residuum quadraticum ipsius ${\textstyle p}$, erit ${\textstyle L=+i\surd a}$.

IV. Si, manentibus reliquis ut in III, ${\textstyle {\frac {kn}{a}}}$ est non-residuum quadraticum ipsius ${\textstyle p}$, erit ${\textstyle L=-i\surd a}$.

V. Si ${\textstyle a}$ est quadratum, altiorve potestas numeri primi (imparis) cum exponente pari, erit ${\textstyle L=+\surd a}$.

VI. Si ${\textstyle a=2}$, erit ${\textstyle L=0}$.

VII. Si ${\textstyle a=4}$, altiorve potestas binarii cum exponente pari, simulque ${\textstyle {\frac {kn}{a}}}$ formae ${\textstyle 4\mu +1}$, erit ${\textstyle L=(1+i)\surd a}$.

VIII. Si, manentibus reliquis ut in VII, ${\textstyle {\frac {kn}{a}}}$ est formae ${\textstyle 4\mu +3}$, erit ${\textstyle L=(1-i)\surd a}$.

IX. Si ${\textstyle a=8}$, altiorve potestas binarii cum exponente impari, simulque ${\textstyle {\frac {kn}{a}}}$ formae ${\textstyle 8\mu +1}$, erit ${\textstyle L=(1+i)\surd a}$.