Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/41

$$W=2^{{\frac {1}{2}}n}\rho ^{{\frac {1}{4}}n}\cos {\frac {1}{2}}\omega \cos \omega \cos {\frac {3}{2}}\omega \ldots \cos({\frac {1}{4}}n-{\frac {1}{2}})\omega$$

Cosinus in hoc productum ingredientes manifesto omnes positivi sunt, factor ${\textstyle \rho ^{{\frac {1}{4}}n}}$ autem fit ${\textstyle =\cos 45^{\circ }+i\sin 45^{\circ }=(1+i)\surd {\frac {1}{2}}}$. Hinc colligimus, ${\textstyle W}$ esse productum ex ${\textstyle 1+i}$ in quantitatem realem positivam, unde necessario esse debebit

$$W=(1+i)\cdot \surd n,\quad T=+\surd n,\quad U=+\surd n$$

19.

Operae pretium erit, omnes summationes hactenus evolutas, hic in unum conspectum colligere. Generaliter scilicet est

${\textstyle T=}$	${\textstyle U=}$	prout ${\textstyle n}$ est formae
${\textstyle \pm \surd n}$	${\textstyle \pm \surd n}$	${\textstyle 4\mu }$
${\textstyle \pm \surd n}$	${\textstyle 0}$	${\textstyle 4\mu +1}$
${\textstyle 0}$	${\textstyle 0}$	${\textstyle 4\mu +2}$
${\textstyle 0}$	${\textstyle \pm \surd n}$	${\textstyle 4\mu +3}$

et in casu eo, ubi ${\textstyle k}$ supponitur ${\textstyle =1}$, quantitati radicali signum positivum tribui debet. Omni itaque iam rigore ea, quae pro valoribus primis ipsius ${\textstyle n}$ in art. 3 per inductionem animadverteramus, demonstrata sunt, nihilque superest, nisi ut signa pro valoribus quibuscunque ipsius ${\textstyle k}$ in omnibus casibus determinare doceamus. Sed antequam hoc negotium in omni generalitate aggredi liceat, primo casus eos, ubi ${\textstyle n}$ est numerus primus vel numeri primi potestas, propius considerare oportebit.

20.

Sit primo ${\textstyle n}$ numerus primus impar, patetque per ea, quae in art. 10 exposuimus, esse ${\textstyle W=1+2\Sigma r^{a}=1+2\Sigma R^{ak}}$, si statuatur ${\textstyle R=\cos \omega +i\sin \omega }$, denotante ${\textstyle a}$ ut illic indefinite omnia residua quadratica ipsius ${\textstyle n}$ inter 1 et ${\textstyle n-1}$ contenta. Quodsi quoque per ${\textstyle b}$ indefinite omnia non-residua quadratica inter eosdem limites exprimimus, nullo negotio perspicitur, omnes numeros ${\textstyle ak}$ congruos fieri secundum modulum ${\textstyle n}$ vel omnibus ${\textstyle a}$ vel omnibus ${\textstyle b}$ (nullo ordinis respectu habito), prout ${\textstyle k}$ vel residuum sit vel non-residuum. Quamobrem in casu priori erit