Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/33

rorum ${\textstyle k}$, ${\textstyle n}$. In casu nostro, ubi ${\textstyle k}$ et ${\textstyle n}$ supponuntur inter se primi, ${\textstyle r}$ commode dici potest radix propria aequationis ${\textstyle x^{n}-1=0}$: contra in casu altero, ubi ${\textstyle k}$ et ${\textstyle n}$ haberent divisorem communem (maximum) ${\textstyle \nu }$, ${\textstyle r}$ vocaretur radix impropria illius aequationis, manifesto autem tunc eadem ${\textstyle r}$ foret radix propria aequationis ${\textstyle x^{\frac {n}{\nu }}-1=0}$. Radix impropria simplicissima est unitas, in eoque casu, ubi ${\textstyle n}$ est numerus primus, impropriae aliae omnino non dabuntur.

12.

Quodsi iam statuimus

$$W=1+r+r^{4}+r^{9}+{\text{etc.}}+r^{(n-1)^{2}}$$

patet fieri ${\textstyle W=T+iU}$, adeoque ${\textstyle T}$ esse partem realem ipsius ${\textstyle W}$, atque ${\textstyle U}$ prodire ex parte imaginaria ipsius ${\textstyle W}$ factore ${\textstyle i}$ suppresso. Totum itaque negotium reducitur ad inventionem summae ${\textstyle W}$: ad hunc finem vel series in art. 6 considerata, vel ea quam in art. 9 summare docuimus, adhiberi potest, prior tamen minus idonea est in casu eo, ubi ${\textstyle n}$ est numerus par. Nihilominus lectoribus gratum fore speramus, si casum eum, ubi ${\textstyle n}$ impar est, secundum methodum duplicem tractemus.

Supponamus itaque primo, ${\textstyle n}$ esse numerum imparem, ${\textstyle r}$ designare radicem propriam aequationis ${\textstyle x^{n}-1=0}$ quamcunque, et in functione ${\textstyle f(x,m)}$ statui ${\textstyle x=r}$, atque ${\textstyle m=n-1}$. Hinc patet fieri

$${\begin{alignedat}{3}&{\frac {1-x^{m}}{1-x}}&={\frac {1-r^{-1}}{1-r}}&=-r^{-1}\\&{\frac {1-x^{m-1}}{1-xx}}&={\frac {1-r^{-2}}{1-rr}}&=-r^{-2}\\&{\frac {1-x^{m-2}}{1-x^{3}}}&={\frac {1-r^{-3}}{1-r^{3}}}&=-r^{-3}{\text{ etc.}}\end{alignedat}}$$

usque ad

$${\begin{alignedat}{3}&{\frac {1-x}{1-x^{m}}}&={\frac {1-r^{-m}}{1-r^{m}}}&=-r^{-m}{\phantom {\text{etc.}}}\end{alignedat}}$$

(Haud superfluum erit monere, has aequationes eatenus tantum valere, quatenus ${\textstyle r}$ supponitur radix propria: si enim esset ${\textstyle r}$ radix impropria, in quibusdam illarum fractionum numerator et denominator simul evanescerent, adeoque fractiones indeterminatae fierent).

Hinc deducimus aequationem sequentem