Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/29

Contra quum pro ${\textstyle m=1}$ fiat ${\textstyle f(x,m)=0}$, erit etiam

$${\begin{aligned}&f(x,3)=0\\&f(x,5)=0\\&f(x,7)=0{\text{ etc.}}\end{aligned}}$$

sive generaliter pro valore quocunque impari ipsius ${\textstyle m}$

$$f(x,m)=0$$

Ceterum summatio posterior iam inde derivari potuisset, quod in progressione

$$1-(m,1)+(m,2)-(m,3)+{\text{etc.}}+(m,m-1)-(m,m)$$

terminus ultimus primum destruit, penultimus secundum etc.

8.

Ad scopum quidem nostrum sufficit casus is, ubi ${\textstyle m}$ est integer positivus impar: sed propter rei singularitatem etiam de casibus iis, ubi ${\textstyle m}$ vel fractus vel negativus est, pauca adiecisse haud poenitebit. Manifesto tunc series nostra haud amplius abrumpetur, sed in infinitum excurret, facileque insuper perspicitur, divergentem eam fieri, quoties ipsi ${\textstyle x}$ valor minor quam 1 tribuatur, quapropter ipsius summatio ad valores ipsius ${\textstyle x}$ qui sint maiores quam 1 restringi debebit.

Per formulam [1] art. 6. habemus

$${\begin{aligned}&f(x,-2)={\frac {1}{1-{\frac {1}{x}}}}\\&f(x,-4)={\frac {1}{1-{\frac {1}{x}}}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{x^{3}}}}}\\&f(x,-6)={\frac {1}{1-{\frac {1}{x}}}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{x^{3}}}}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{x^{5}}}}}{\text{ etc.}}\end{aligned}}$$

ita ut valor functionis ${\textstyle f(x,m)}$ etiam pro valore negativo integro pari ipsius ${\textstyle m}$ in terminis finitis assignabilis sit. Pro reliquis vero valoribus ipsius ${\textstyle m}$ functionem ${\textstyle f(x,m)}$ in productum infinitum sequenti modo convertemus.

Crescente ${\textstyle m}$ in valorem negativum infinitum, functio ${\textstyle f(x,m)}$ transit in