Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/26

4.

In omnibus hisce exemplis quantitas radicalis signum positivum obtinet, idemque facile pro valoribus maioribus ${\textstyle n=23}$, ${\textstyle n=29}$ etc. confirmatur, unde fartis iam probabilitas oritur, hoc generaliter perinde se habere. Sed demonstratio huius phaenomeni e principiis l.c. expositis peti nequit, plenissimoque iure altioris indaginis aestimanda est. Propositum itaque huius commentationis eo tendit, ut demonstrationem rigorosam huius elegantissimi theorematis, per plures annos olim variis modis incassum tentatam, tandemque per considerationes singulares satisque subtiles feliciter perfectam in medium proferamus, simulque theorema ipsum salva seu potius aucta elegantia sua ad longe maiorem generalitatem evehamus. Coronidis denique loco nexum mirabilem arctissimum inter hanc summationem aliudque theorema arithmeticum gravissimum docebimus. Speramus, hasce disquisitiones non modo per se geometris gratas fore, sed methodos quoque, per quas haec omnia efficere licuit, quaeque in aliis quoque occasionibus utiles esse poterunt, ipsorum attentione dignas visum iri.

5.

Petita est demonstratio nostra e consideratione generis singularis progressionum, quarum termini pendent ab expressionibus talibus

$${\frac {(1-x^{m})(1-x^{m-1})(1-x^{m-2})\ldots (1-x^{m-\mu +1})}{(1-x)(1-xx)(1-x^{3})\ldots (1-x^{\mu })}}$$

Brevitatis caussa talem fractionem per ${\textstyle (m,\mu )}$ denotabimus, et primo quasdam observationes generales circa huiusmodi functiones praemittemus.

I. Quoties ${\textstyle m}$ est integer positivus minor quam ${\textstyle \mu }$, functio ${\textstyle (m,\mu )}$ manifesto evanescit, numeratore factorem ${\textstyle 1-x^{0}}$ implicante. Pro ${\textstyle m=\mu }$, factores in numeratore identici erunt ordine inverso cum factoribus in denominatore, unde erit ${\textstyle (\mu ,\mu )=1}$: denique pro casu eo, ubi ${\textstyle m}$ est integer positivus maior quam ${\textstyle \mu }$, habentur formulae

$${\begin{aligned}&(\mu +1,\mu )={\frac {1-x^{\mu +1}}{1-x}}=(\mu +1,1)\\&(\mu +2,\mu )={\frac {(1-x^{\mu +2})(1-x^{\mu +1})}{(1-x)(1-xx)}}=(\mu +2,2)\\&(\mu +3,\mu )={\frac {(1-x^{\mu +3})(1-x^{\mu +2})(1-x^{\mu +1})}{(1-x)(1-xx)(1-x^{3})}}=(\mu +3,3){\text{ etc.}}\end{aligned}}$$