Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/22

II. pro valore ipsius ${\textstyle n}$, qui est formae ${\textstyle 4m+3}$,

$${\begin{aligned}\Sigma \cos ak\omega &=-{\frac {1}{2}}\\\Sigma \cos bk\omega &=-{\frac {1}{2}}\\\Sigma \sin ak\omega &=\pm {\frac {1}{2}}\surd n\\\Sigma \sin bk\omega &=\mp {\frac {1}{2}}\surd n\\\Sigma \sin ak\omega -\Sigma \sin bk\omega &=\pm \surd n\end{aligned}}$$

Hae summationes l.c. omni rigore demonstratae sunt, neque alia difficultas hic remanet nisi in determinatione signi quantitati radicali praefigendi. Nullo quidem negotio ostendi potest, hoc signum eatenus a numero ${\textstyle k}$ pendere, quod semper pro cunctis valoribus ipsius ${\textstyle k}$, qui sint residua quadratica ipsius ${\textstyle n}$, signum idem valere debeat, et contra signum huic oppositum pro omnibus valoribus ipsius ${\textstyle k}$, qui sint non-residua quadratica ipsius ${\textstyle n}$. Hinc totum negotium in valore ${\textstyle k=1}$ versabitur, patetque, quam primum signum pro hoc valore valens innotuerit, pro omnibus quoque reliquis valoribus ipsius ${\textstyle k}$ signa statim in promtu fore. Verum enim vero in hac ipsa quaestione, quae primo aspectu inter faciliores referenda videtur, in difficultates improvisas incidimus, methodusque, qua ducente sine impedimentis hucusque progressi eramus, auxilium ulterius prorsus denegat.

2.

Haud abs re erit, antequam ulterius progrediamur, quaedam exempla summationis nostrae per calculum numericum evolvisse: huic vero quasdam observationes generales praemittere conveniet.
I. Si in casu eo, ubi ${\textstyle n}$ est numerus primus formae ${\textstyle 4m+1}$, omnia residua quadratica ipsius ${\textstyle n}$ inter 1 et ${\textstyle {\frac {1}{2}}(n-1)}$ incl. iacentia indefinite per ${\textstyle a^{\prime }}$ exhibentur, omniaque non-residua inter eosdem limites per ${\textstyle b^{\prime }}$, constat, omnes ${\textstyle n-a^{\prime }}$ inter ipsos ${\textstyle a}$, omnesque ${\textstyle n-b^{\prime }}$ inter ${\textstyle b}$ comprehensos fore: quamobrem quum omnes ${\textstyle a^{\prime }}$, ${\textstyle b^{\prime }}$, ${\textstyle n-a^{\prime }}$, ${\textstyle n-b^{\prime }}$ manifesto totum complexum numerorum ${\textstyle 1}$, ${\textstyle 2}$, ${\textstyle 3\ldots n-1}$ expleant, omnes ${\textstyle a^{\prime }}$ cum omnibus ${\textstyle n-a^{\prime }}$ iuncti omnes ${\textstyle a}$ complectentur, et perinde omnes ${\textstyle b^{\prime }}$ cum omnibus ${\textstyle n-b^{\prime }}$ iuncti omnes ${\textstyle b}$ comprehendent. Hinc erit