Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/21

1.

Inter veritates insigniores, ad quas theoria divisionis circuli aditum aperuit, locum haud ultimum sibi vindicat summatio in Disquiss. Arithmet. art. 356 proposita, non modo propter elegantiam suam peculiarem, miramque foecunditatem, quam fusius exponendi occasionem posthac dabit alia disquisitio, sed ideo quoque, quod eius demonstratio rigorosa atque completa difficultatibus haud vulgaribus premitur. Quae sane eo minus exspectari debuissent, quum non tam in ipsum theorema cadant, quam potius in aliquam theorematis limitationem, qua neglecta demonstratio statim in promtu est, facillimeque e theoria in opere isto explicata derivatur. Theorema illic exhibitum est in forma sequente. Supponendo ${\textstyle n}$ esse numerum primum, denotandoque indefinite omnia residua quadratica ipsius ${\textstyle n}$ inter limites 1 et ${\textstyle n-1}$ incl. sita per ${\textstyle a}$, omniaque non-residua inter eosdem limites iacentia per ${\textstyle b}$, denique per ${\textstyle \omega }$ arcum ${\textstyle {\frac {360^{\circ }}{n}}}$, et per ${\textstyle k}$ integrum determinatum quemcunque per ${\textstyle n}$ non divisibilem, erit

I. pro valore ipsius ${\textstyle n}$, qui est formae ${\textstyle 4m+1}$,

$${\begin{aligned}\Sigma \cos ak\omega &=-{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}}\surd n\\\Sigma \cos bk\omega &=-{\frac {1}{2}}\mp {\frac {1}{2}}\surd n,{\text{ adeoque }}\\\Sigma \cos ak\omega -\Sigma \cos bk\omega &=\pm \surd n\\\Sigma \sin ak\omega &=0\\\Sigma \sin bk\omega &=0\end{aligned}}$$