Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/149

At non obstante summa huius theorematis simplicitate, ipsius demonstratio inter mysteria arithmeticae sublimioris maxime recondita referenda est, ita ut, saltem ut nunc res est, per subtilissimas tantummodo investigationes enodari possit, quae limites praesentis commentationis longe transgrederentur. Quamobrem promulgationem huius demonstrationis, nec non evolutionem nexus inter hoc theorema atque ea, quae in initio huius commentationis per inductionem stabilire coeperamus, ad commentationem tertiam nobis reservamus. Coronidis tamen loco iam hic trademus, quae ad demonstrationem theorematum in artt. 63, 64 propositorum requiruntur.

68.

Initium facimus a numeris primis ${\textstyle a+bi}$ talibus, pro quibus ${\textstyle b=0}$ (tertia specie art. 34 ), ubi itaque (ut numerus inter associatos primarius sit) a debet esse numerus primus realis negativus formae ${\textstyle -(4n+3)}$, pro quo scribemus ${\textstyle -q}$, quales sunt ${\textstyle -3}$, ${\textstyle -7}$, ${\textstyle -11}$, ${\textstyle -19}$ etc. Denotando per ${\textstyle \lambda }$ characterem numeri ${\textstyle 1+i}$, illo numero pro modulo accepto, esse debet

$$i^{\lambda }\equiv (1+i)^{{\frac {1}{4}}(qq-1)}\equiv 2^{{\frac {1}{8}}(qq-1)}\cdot i^{{\frac {1}{8}}(qq-1)}{\pmod {q}}$$

Sed constat, 2 esse residuum quadraticum, vel non-residuum quadraticum ipsius ${\textstyle q}$, prout ${\textstyle q}$ sit formae ${\textstyle 8n+7}$, vel formae ${\textstyle 8n+3}$, unde colligimus, esse generaliter

$$2^{{\frac {1}{2}}(q-1)}\equiv (-1)^{{\frac {1}{4}}(q+1)}\equiv i^{{\frac {1}{2}}(q+1)}{\pmod {q}}$$

adeoque evehendo ad potestatem exponentis ${\textstyle {\frac {1}{4}}(q+1)}$

$$2^{{\frac {1}{8}}(qq-1)}\equiv i^{{\frac {1}{8}}(q+1)^{2}}{\pmod {q}}$$

Aequatio itaque praecedens hanc formam induit

$$i^{\lambda }\equiv i^{{\frac {1}{8}}(q+1)^{2}+{\frac {1}{8}}(qq-1)}\equiv i^{{\frac {1}{4}}(qq+q)}{\pmod {q}}$$

unde sequitur

$$\lambda \equiv {\frac {1}{4}}(qq+q)\equiv {\frac {1}{4}}(q+1)^{2}-{\frac {1}{4}}(q+1){\pmod {4}}$$

sive quum habeatur ${\textstyle {\frac {1}{4}}(q+1)^{2}\equiv 0{\pmod {4}}}$, ${\textstyle \lambda \equiv -{\frac {1}{4}}(q+1)\equiv {\frac {1}{4}}(a-1){\pmod {4}}}$. Quod est ipsum theorema art. 63 pro casu ${\textstyle b=0}$.