Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/141

Sed hic quoque praestat, loco tertiae classis binas stabilire, ut omnino habeantur quaternae.

Assumta radice quacunque primitiva pro basi, residua biquadratica habebunt indices per 4 divisibiles sive formae ${\textstyle 4n}$; non-residua ea, quae sunt residua quadratica, habebunt indices formae ${\textstyle 4n+2}$; denique non-residuorum quadraticorum indices erunt partim formae ${\textstyle 4n+1}$, partim formae ${\textstyle 4n+3}$. Hoc modo classes quaternae quidem oriuntur, at distinctio inter binas posteriores non esset absoluta, sed ab electione radicis primitivae pro basi assumtae dependens; facile enim perspicitur, semissem radicum primitivarum non-residuo quadratico dato conciliare indicem formae ${\textstyle 4n+1}$, semissem alteram vero indicem formae ${\textstyle 4n+3}$. Quam ambiguitatem ut tollamus, supponemus semper talem radicem primitivam adoptari, pro qua index ${\textstyle {\frac {1}{4}}(p-1)}$ competat numero ${\textstyle +i}$ (conf. art. 55, VI). Hoc pacto classificatio oritur, quam concinnius independenter a radicibus primitivis ita enunciare possumus.

Classis prima contineat numeros ${\textstyle k}$ eos, pro quibus fit ${\textstyle k^{{\frac {1}{4}}(p-1)}\equiv 1}$; hi numeri sunt moduli residua biquadratica.

Classis secunda contineat eos, pro quibus ${\textstyle k^{{\frac {1}{4}}(p-1)}\equiv i}$.

Classis tertia eos, pro quibus ${\textstyle k^{{\frac {1}{4}}(p-1)}\equiv -1}$.

Classis quarta denique eos, pro quibus ${\textstyle k^{{\frac {1}{4}}(p-1)}\equiv -i}$.

Classis tertia comprehendet non-residua biquadratica ea, quae sunt residua quadratica; inter secundam et quartam non-residua quadratica distributa erunt.

Numeris harum classium tribuemus resp. characteres biquadraticos ${\textstyle 0}$, ${\textstyle 1}$, ${\textstyle 2}$, ${\textstyle 3}$. Si characterem ${\textstyle \lambda }$ numeri ${\textstyle k}$ secundum modulum ${\textstyle m}$ ita definimus, ut sit exponens eius potestatis ipsius ${\textstyle i}$, cui numerus ${\textstyle k^{{\frac {1}{2}}(p-1)}}$ congruus est, manifesto characteres secundum modulum 4 congrui pro aequivalentibus habendi sunt. Ceterum haec notio tantisper ad modulos eos limitatur, qui sunt numeri primi: in continuatione harum disquisitionum ostendemus, quomodo etiam modulis compositis adaptari possit.

62.

Quo facilius inductio copiosa circa numerorum characteres adstrui possit, tabulam compendiosam hic adiungimus, cuius auxilio character cuiusvis numeri propositi respectu moduli, cuius norma valorem 157 non transscendit, levi opera obtinetur, dummodo ad observationes sequentes attendatur.