Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/140

${\textstyle -1+6i}$, ${\textstyle -1-6i}$, ${\textstyle -7}$, ${\textstyle -5+6i}$, ${\textstyle -5-6i}$, ${\textstyle -3+8i}$, ${\textstyle -3-8i}$, ${\textstyle +9+4i}$, ${\textstyle +9-4i}$ etc.

non-residuum vero horum ${\textstyle -1+2i}$, ${\textstyle -1-2i}$, ${\textstyle +1+4i}$, ${\textstyle +1-4i}$, ${\textstyle -5+2i}$, ${\textstyle -5-2i}$, ${\textstyle +5+4i}$, ${\textstyle +5-4i}$, ${\textstyle +7+2i}$, ${\textstyle +7-2i}$, ${\textstyle +5+8i}$, ${\textstyle +5-8i}$ etc.

Priores secundum modulum 3 congrui sunt alicui ex his quatuor numeris ${\textstyle +1}$, ${\textstyle -1}$, ${\textstyle +i}$, ${\textstyle -i}$; posteriores autem alicui ex his ${\textstyle +1+i}$, ${\textstyle +1-i}$, ${\textstyle -1+i}$, ${\textstyle -1-i}$. Illi sunt ipsa residua quadratica numeri 3, hi non-residua.

Docet itaque haec inductio, numerum primum ${\textstyle a+bi}$, supponendo ${\textstyle a}$ imparem, ${\textstyle b}$ parem, ad numerum ${\textstyle -3}$ (nec non ad ${\textstyle +3}$) eandem relationem habere, quam hic habet ad illum, quatenus scilicet alter alterius residuum quadraticum sit aut non-residuum.

Extendendo similem inductionem ad alios numeros primos, ubique hanc elegantissimam reciprocitatis legem confirmatam invenimus, deferimurque ad theorema hocce fundamentale circa residua quadratica in arithmetica numerorum complexorum

Denotantibus ${\textstyle a+bi}$, ${\textstyle A+Bi}$ numeros primos tales, ut ${\textstyle a}$, ${\textstyle A}$ sint impares, ${\textstyle b}$, ${\textstyle B}$ pares: erit vel uterque alterius residuum quadraticum, vel uterque alterius nonresiduum.

At non obstante summa theorematis simplicitate, ipsius demonstratio magnis difficultatibus premitur, quibus tamen hic non immoramur, quum theorema ipsum sit tantummodo casus specialis theorematis generalioris, summam theoriae residuorum biquadraticorum quasi exhaurientis. Ad hanc igitur iam transeamus.

61.

Quae in art. 2 prioris commentationis de notione residui et non-residui biquadratici prolata sunt, etiam ad arithmeticam numerorum complexorum extendimus, et perinde ut illic etiam hic disquisitionem ad modulos tales, qui sunt numeri primi, restringimus: simul plerumque tacite subintelligendum erit, modulum ita accipi, ut sit inter associatos primarius, puta ${\textstyle \equiv 1}$ secundum modulum ${\textstyle 2+2i}$, nec non numeros, de quorum charactere (quatenus sint residua biquadratica vel non-residua) agitur, per modulum non esse divisibiles.

Pro modulo itaque dato numeri per eum non divisibiles in tres classes dispertiri possent, quarum prima contineret residua biquadratica, secunda non-residua biquadratica ea, quae sunt residua quadratica, tertia non-residua quadratica.