Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/14

est. Pro primo huius elegantissimi theorematis inventore ill. Legendre absque dubio habendus est, postquam longe antea summi geometrae Euler et Lagrange plures eius casus speciales iam per inductionem detexerant. Conatibus horum virorum circa demonstrationem enumerandis hic non immoror; adeant quibus volupe est opus modo commemoratum. Adiicere liceat tantummodo, in confirmationem eorum, quae in art. praec. prolata sunt, quae ad meos conatus pertinent. In ipsum theorema proprio marte incideram anno 1795, dum omnium, quae in arithmetica sublimiori iam elaborata fuerant, penitus ignarus et a subsidiis literariis omnino praeclusus essem: sed per integrum annum me torsit, operamque enixissimam effugit, donec tandem demonstrationem in Sectione quarta operis illius traditam nactus essem. Postea tres aliae principiis prorsus diversis innixae se mihi obtulerunt, quarum unam in Sectione quinta tradidi, reliquas elegantia illa haud inferiores alia occasione publici iuris faciam. Sed omnes hae demonstrationes, etiamsi respectu rigoris nihil desiderandum relinquere videantur, e principiis nimis heterogeneis derivatae sunt, prima forsan excepta, quae tamen per ratiocinia magis laboriosa procedit, operationibusque prolixioribus premitur. Demonstrationem itaque genuinam hactenus haud affuisse non dubito pronunciare: esto iam penes peritos iudicium, an ea, quam nuper detegere successit, quamque pagellae sequentes exhibent, hoc nomine decorari mereatur.

3.

Theorema. Sit ${\textstyle p}$ numerus primus positivus; ${\textstyle k}$ integer quicunque per ${\textstyle p}$ non divisibilis;

$${\begin{aligned}&A{\text{ complexus numerorum }}1,2,3\ldots {\frac {1}{2}}(p-1)\\&B{\text{ complexus horum }}{\frac {1}{2}}(p+1),{\frac {1}{2}}(p+3),{\frac {1}{2}}(p+5)\ldots p-1\end{aligned}}$$

Capiantur residua minima positiva productorum ex ${\textstyle k}$ in singulos numeros ${\textstyle A}$ secundum modulum ${\textstyle p}$, quae manifesto omnia diversa erunt, atque partim ad ${\textstyle A}$ partim ad ${\textstyle B}$ pertinebunt. Iam si ad ${\textstyle B}$ omnino ${\textstyle \mu }$ residua pertinere supponantur, erit ${\textstyle k}$ vel residuum vel non-residuum quadraticum ipsius ${\textstyle p}$, prout ${\textstyle \mu }$ par est vel impar.

Dem. Sint residua ad ${\textstyle A}$ pertinentia haec ${\textstyle a}$, ${\textstyle a^{\prime }}$, ${\textstyle a^{\prime \prime }\ldots }$, reliqua ad ${\textstyle B}$ pertinentia ${\textstyle b}$, ${\textstyle b^{\prime }}$, ${\textstyle b^{\prime \prime }\ldots }$, patetque posteriorum complementa ${\textstyle p-b}$, ${\textstyle p-b^{\prime }}$, ${\textstyle p-b^{\prime \prime }\ldots }$ cuncta a numeris ${\textstyle a}$, ${\textstyle a^{\prime }}$, ${\textstyle a^{\prime \prime }\ldots }$ diversa esse, cum his vero simul sumta comple-