Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/137

character hoc respectu tribuendus est, quo gaudet numerus systematis illi congruus.

Porro ibinde sequitur, productum e duobus residuis quadraticis, nec non productum e duobus non-residuis esse residuum quadraticum; contra productum e residuo quadratico in non-residuum fieri non-residuum; et generaliter productum e quotcunque factoribus esse residuum quadraticum vel non-residuum, prout multitudo non-residuorum inter factores par sit vel impar.

Pro distinguendis residuis quadraticis a non-residuis statim se offert criterium generale sequens:

Numerus ${\textstyle k}$ per modulum non divisibilis huius residuum vel non-residuum quadraticum est, prout habetur vel ${\textstyle k^{{\frac {1}{2}}(p-1)}\equiv 1}$, vel ${\textstyle k^{{\frac {1}{2}}(p-1)}\equiv -1{\pmod {m}}}$.

Veritas huius theorematis statim inde sequitur, quod, accepta radice primitiva quacunque pro basi, index potestatis ${\textstyle k^{{\frac {1}{2}}(p-1)}}$ fit vel ${\textstyle \equiv 0}$ vel ${\textstyle \equiv {\frac {1}{2}}(p-1)}$, prout index numeri ${\textstyle k}$ par est vel impar.

57.

Facile quidem est, pro modulo dato systema residuorum incongruorum completum in duas classes, puta residua et non-residua quadratica distinguere, quo pacto simul omnibus reliquis numeris classes suae sponte assignantur. At longe altioris indaginis est quaestio de criteriis ad distinguendum modulos eos, pro quibus numerus datus est residuum quadraticum, ab iis, pro quibus est non-residuum.

Quod quidem attinet ad unitates reales ${\textstyle +1}$ et ${\textstyle -1}$, hae in arithmetica numerorum complexorum sunt reapse quadrata, adeoque etiam residua quadratica pro quovis modulo. Aeque facile e criterio art. praec. sequitur, numerum ${\textstyle i}$ (et perinde ${\textstyle -i}$) esse residuum quadraticum cuiusvis moduli, cuius norma ${\textstyle p}$ sit formae ${\textstyle 8n+1}$, non-residuum vero cuiusvis moduli, cuius norma sit formae ${\textstyle 8n+5}$. Quum manifesto nihil intersit, utrum numerus ${\textstyle m}$, an aliquis numerorum ipsi associatorum ${\textstyle im}$, ${\textstyle -m}$, ${\textstyle -im}$ pro modulo adoptetur, supponere licebit, modulum esse associatorum primarium (art. 36, II), adeoque statuendo modulum ${\textstyle =a+bi}$, esse ${\textstyle a}$ imparem, ${\textstyle b}$ parem. Quo pacto quum semper sit ${\textstyle aa\equiv 1{\pmod {8}}}$, ${\textstyle bb}$ vero vel ${\textstyle \equiv 0}$ vel ${\textstyle \equiv 4{\pmod {8}}}$, prout ${\textstyle b}$ sit pariter par vel impariter par, patet numeros ${\textstyle +i}$ et ${\textstyle -i}$ in casu priori esse residua quadratica moduli, in posteriori nonresidua.